黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高三上学期期中数学试题

哈九中2024届高三上学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）Ⅰ卷一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C.2 D.3.在等差数列中，若，，则（）A.29 B.27 C.24 D.204.“，”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.下列命题中，真命题的是（）A.函数的周期是 B.，C.函数是奇函数 D.的充要条件是6.设，，是与的等差中项，则的最小值为（）A. B.3 C.9 D.7.已知中，，，点为的中点，点为边上一动点，则的最小值为（）A.27 B.0 C. D.8.在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径.假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数这由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（）A.35 B.42 C.49 D.56二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.数列满足：，，，下列说法正确的是（）A.数列为等比数列 B.C.数列是递减数列 D.的前项和10.下列说法正确的是（）A.在中，，，，若，则为锐角三角形B.非零向量和满足，，则C.已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是D.在中，若，则与的面积之比为11.已知函数，则（）A.若，则 B.若函数为偶函数，则C.若在上单调，则 D.若时，且在上单调，则12.已知，若恒成立，则不正确的是（）A.的单调递增区间为B.方程可能有三个实数根C.若函数在处的切线经过原点，则D.过图象上任何一点，最多可作函数的8条切线Ⅱ卷三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分.13.已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式______.14.已知的面积，，则______.15.若，则______.16.，为一个有序实数组，表示把中每个都变成，0，每个0都变成，1，每个1都变成0，1所得到的新的有序实数组.例如：，则.定义，，若，中有项为1，的前项和为，则______.四、解答题：本题共有6个小题，共70分.17.设向量，，（1）若，求的值；（2）设函数，求的最大值.18.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，且点，分别为和中点.（1）求证：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19.已知数列满足，且.（1）求的通项公式；（2）若数列的前项和为，且，求数列的前项和.20.在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为.已知（1）（2）（3），从这三个条件中任选一个，回答下列问题.（1）求角；（2）若.求的取值范围.21.已知等差数列满足，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）设，的前项和分别为，.若的公差为整数，且，求.22.已知函数，.（1）当时，求的单调区间；（2）当时，若不等式恒成立，求的取值范围；（3）证明：.1——8DCAACCDB9——12ABBDBDABC13. 14.2 15. 16.17.（1）∵，，，∴，即，得，又∵，则，∴，解得.（2）∵，则，∴，当取得18.（1）证明：取的中点，连接、，在中，因为，分别为，的中点，可得且，又因为为的中点，所以且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）解：因为底面是菱形，且，连接，可得为等边三角形，又因为为的中点，所以，则，又由平面，以为坐标原点，以，，所在的直线分别为、和轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为底面是菱形，且，，可得，，，，则，，，设平面的法向量为，则取，可得，.所以，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.19.（1）因为，所以，所以.（2）因为，所以当时，，得；当时，，所以（时也成立）.因为，所以，所以，故.20.（1）选①，由可得：，故有，又∵，∴；选②，∵，由正余弦定理得，∴，又，∴；选③，∵，由正弦定理可得，∴，∵，∴，∴，又，∴.（2）由余弦定理得∵，∴.又有，当且仅当时取等号，可得.即的取值范围是.21.（1）设等差数列的公差为，∵，∴，∵，，成等比，∴，即，得，解得或，∴当时，；当时，；∴或.（2）因为等差数列的公差为整数，由（1）得，所以，则，∴.①当为偶数时.②当为奇数时.所以当为正偶数时，，当为正奇数时，.22.（1）当时，，，则，令，得；令，得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由，得，设，，当时，，，所以当时，，不符合题意，当时，，设，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为，当，即时，因为，所以当时，，即，此时单调递增，所以，不符合题意.当，即时，在上单调递减，所以，所以，所以在上单调递减，所以，符合题意.综上所述，的取值范围为.（3）由（2）可得当时，，即，令，，则，所以，，…，，以上各式相加得，即，所以.