湖北荆荆宜2023届高三五月三校联考 数学

2023年高三下学期5月三校联考高三数学试卷命题学校：宜昌一中命题教师：高三数学备课组审题学校：荆州中学、龙泉中学考试时间：2023年5月18日下午15:00—17:00试卷满分：150分★祝考试顺利★一、选择题：本大题共8小题，每一小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|ax2,xZ}，B=−{1,0,1,2}，若AB中恰有两个元素，则实数a的取值范围为A．[1,0−)B．[1,0−]C．[0,1)D．[0,1]2．已知复数2i+是关于x的方程xa2x−b−=0（ab,R）的一个解，则复数za=+bi在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知平面向量a，b，c满足a=(2,1)，b=(1,2)，且ac⊥．若bc=32，则||c=A．10B．25C．52D．354．由经验可知，某种质地的沙子堆放成圆锥的形状，若要使沙堆上的沙子不滑落，其母线与底面的最π大夹角为．现有一堆该质地的沙子堆成的沙堆，该沙堆的底面半径为3m，高为1m．现在为了节6省该沙堆的占地，需要用一个无盖的圆柱形容器盛放这些沙子，沙子可以超出该容器，且超出部分呈圆锥形．已知该容器的底面半径为3m，则该容器的高至少为233A．1mB．mC．mD．m332π2ππ5．若(0,)，cos()2cos4coscos−+=2，则等于2552π3πππA．B．C．D．51051016．某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午不去打31球，则下午一定去游泳；若上午去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了4泳，则上午打球的概率为3211A．B．C．D．4332xy227．已知椭圆Eab:1(0)+=的左、右焦点分别为F，F，过F的直线与E交于点A，B．直线ab22122l为E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M．由椭圆的光学性质知，F1，A，M三点共线．若BF5BF||ABa=，1=，则2=MF17AF11211A．B．C．D．2747高三数学试卷第1页（共4页）8．设函数fx(x)x22=−3，若正实数a使得存在三个两两不同的实数b，c，d满足(,a(f)a)，(b,(f)b)，(c,f(c))，(d,f(d))恰好为一个矩形的四个顶点，则的取值范围为1133A．(0,]B．[,1]C．(0,]D．[,1]2233二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知正四棱锥PA−BCD的所有棱长相等，M，N分别是棱PD，BC的中点，则A．MN∥PBB．MN∥面PABC．MNP⊥AD．MN⊥面PAD10．某学校一同学研究温差xC()与本校当天新增感冒人数y(人)的关系，该同学记录了5天的数据：x568912y1720252835经过拟合，发现基本符合经验回归方程yˆx=+a2.6ˆ，则A．样本中心点为(8,25)B．aˆ=4.2C．x=5时，残差为−0.2D．若去掉样本点(8,25)，则样本的相关系数r增大π11．已知函数fxx()sin(2)=+(0)在(0,)上有最大值，则22ππA．的取值范围为(,)B．fx()在区间(0,)上有零点42C．fx()在区间(,)上单调递减D．存在两个，使得−=f()122212．在平面直角坐标系xOy中，已知点Pxyy(111,(0))是圆Mxy:21(−+=)上的一个动点，直线OP与22圆M交于另一点Q，过点O作直线OP的一条垂线，与圆Nxy:24(++=)交于点E(x22,y)，则下列说法正确的是A．x2−1B．4yOPOE1=221C．若PQOE=，则SS=3D．PEQ的最大正切值为NOEMPQ21三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．113．已知(2x3+)n的展开式的第7项为常数项，则正整数n的值为________．x14．若函数f(x)=−exa−+1x在区间(0,)+上单调递增，则a的取值范围为________．15．科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将n它减半（即）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即31n+），不断重复这样的运算，经过有限步后，2一定可以得到1．这是一个很有趣的猜想，但目前还没有证明或否定．如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则满足条件的n的所有不同值的和为________．高三数学试卷第2页（共4页）16．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线Cy:4x2=的焦点为F，A，B是其准线上的两个动点，且FAF⊥B，线段FA，FB分别与抛物线C交于P，Q两点．记△PQF的面积为S1，△ABF的面积S11为S2．当=时，AB=________．S29四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）*已知数列{}an的各项均不为0，其前n项和Sn满足annnaS+1=−41，nN，且a1=1．（1）求的通项公式；an+1（2）求数列{}的前n项和Tn．SSnn+118．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，已知6(S)b=+ac．2（1）若sinA=，求cosB；3π（2）若b=3，B=，求△ABC的面积S．319．（12分）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，BC1⊥平面ABC，点D为棱AC的中点，DA=DB=2．（1）求证：ABCC⊥1；（2）若BC=2，求直线BB1与平面BDC1所成角的正弦的最大值．高三数学试卷第3页（共4页）20．（12分）某手机APP公司对喜欢使用该APP的用户年龄情况进行调查，随机抽取了100名喜欢使用该APP的用户，年龄均在[15,65]周岁内，按照年龄分组得到如下所示的样本频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计使用该视频APP用户的平均年龄的第85%分位数（小数点后保留2位）；（2）若所有用户年龄X近似服从正态分布N(,)2，其中为样本平均数的估计值，10.5，试估计喜欢使用该APP且年龄大于61周岁的人数占所有喜欢使用该APP的比例；（3）用样本的频率估计概率，从所有喜欢使用该APP的用户中随机抽取8名用户，用P()X=k表示这8名用户中恰有k名用户的年龄在区间[25,35)岁的概率，求PX()k=取最大值时对应的k值．附：若随机变量X服从正态分布N(,2)，则：PX()0.6827−+，PX(22)0.9545−+，PX(33)0.9973−+．21．（12分）xy22已知双曲线Cab:1(0,0)−=的左、右焦点分别为F，F，直线lx:1=，l与x轴交于点H，ab2212l与双曲线C的一条渐近线交于点T，且HFHF12+=30，TF12TF=−2．（1）求双曲线C的方程；（2）设过点H与x轴不重合的直线交双曲线C于A，B两点，直线AF2，BF2分别交l于点M，N，求证：||||HMHN=．22．（12分）设函数f(x)=+exbsinx，x−+(π,)．（1）若函数fx()在(0,f(0))处的切线的斜率为2．①求实数b的值；②求证：fx()存在唯一极小值点x0且fx(0)−1．（2）当b0时，若fx()在x(−π,)+上存在零点，求实数b的取值范围．高三数学试卷第4页（共4页）