数学（二）小题详解

丹东市2023届高三总复习质量测试（二）数学小题详解1．已知向量a＝(2，1)，b＝(3，2)，则a·(a－b)＝A．－5B．－3C．3D．5答案：B．解：a·(a－b)＝(2，1)·(－1，－1)＝2×(－1)＋1×(－1)＝－3．32．不等式＞1的解集为x＋2A．{x|x＜1，x≠－2}B．{x|x＞1}C．{x|－2＜x＜1}D．{x|x＜－2或x＞1}答案：C．解：3x－1不等式＞1等价于＜0，等价于(x－1)(x＋2)＜0，解集为{x|－2＜x＜1}．x＋2x＋23．直线x＋ay－3＝0与直线(a＋1)x＋2y－6＝0平行，则a＝A．－2B．1C．－2或1D．－1或2答案：A．解：由1×2＝a(a＋1)，得a＝－2或a＝1．当a＝－2时，l1：x－2y－3＝0，l2：－x＋2y－6＝0，l1∥l2．当a＝1时，l1：x＋y－3＝0，l2：x＋y－3＝0，l1与l2重合．4．古希腊科学家阿基米德发明了享誉世界的汲水器，称为阿基米德螺旋泵，两千多年后的今天，左图所示的螺旋泵，仍在现代工农业生产中使用，其依据是“阿基米德螺线”．在右图所示的平面直角坐标系xOy中，点A匀速离开坐标系原点O，同时又以固定的角速度绕坐标系原点O逆时针转动，产生的轨迹就是“阿基米德螺线”，该阿基米德螺线与坐标轴交点依次为A1(－1，0)，A2(0，－2)，A3(3，0)，A4(0，4)，A5(－5，0)，…按此规律继续，若四边形AnAn＋1An＋2An＋3的面积为220，则n＝A．7B．8C．9D．10答案：C．解：如图，凸四边形AnAn＋1An＋2An＋3对角线垂直，故其面积等于1(n＋n＋2)(n＋1＋n＋3)＝2(n＋1)(n＋2)．2由2(n＋1)(n＋2)＝220得n＝－12，或n＝9，因为n∈N*，所以n＝9．5．△ABC中，AC＝2，BC＝3，A＝60º，则cosB＝2112A．±B．±C．D．2222答案：D．小题详解第1页（共6页）解：3222由正弦定理＝，得sinB＝，因为BC＞AB，所以cosC＝．3sinB2221－x6．设函数f(x)满足f(x＋1)＋f(x)＝0，当0≤x＜1时，f(x)＝2，则f(log0.58)＝A．－2B．－1C．1D．2答案：A．解：由f(x＋1)＋f(x)＝0得f(x＋2)＝f(x)．因为log0.58＝－log28＝－3，所以f(log0.58)＝f(－3)＝f(－3＋2＋2)＝f(1)＝－f(0)＝－2，选A．7．若cosα≠0，2(sin2α＋5cosα)＝1＋cos2α，则tan2α＝4334A．－B．－C．D．3443答案：D．解法1：由2(sin2α＋5cosα)＝1＋cos2α，得2cos2α＝2sinαcosα＋25cosα．12因为cosα≠0，所以cosα－sinα＝1，于是cos(α＋φ)＝1，tanφ＝2．552tanα4取α＝－φ，得tanα＝－2，从而tan2α＝＝．1－tan2α3解法2：由2(sin2α＋5cosα)＝1＋cos2α，得2cos2α＝2sinαcosα＋25cosα．因为cosα≠0，所以cosα－2sinα＝5，设f(x)＝cosx－2sinx，则x＝α是f(x)的极大值2tanα4点，因此f′(α)＝0．得tanα＝－2，从而tan2α＝＝．1－tan2α3－f(x)，x≥0，8．设函数y＝f(x)由关系式x|x|＋y|y|＝1确定，函数g(x)＝则f(－x)，x＜0．A．g(x)为增函数B．g(x)为奇函数C．g(x)值域为[－1，＋∞)D．函数y＝f(－x)－g(x)没有正零点答案：D．解：1＋x2，x＜0，2可知f(x)＝1－x，0≤x≤1，画以下曲线：－x2－1，x＞1．y2－x2＝1(x＜0，y＞0)，x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)，x2－y2＝1(x＞0，y＜0)．这些曲线合并组成f(x)图象，是两段以y＝－x为渐近线的双曲线和一段圆弧构成．小题详解第2页（共6页）－f(x)，x≥0，因为g(x)＝作f(x)图象在轴右侧部分包括点(0，－1)关于x轴对称，得f(－x)，x＜0．到曲线C1，再作C1关于坐标原点对称，去掉点(0，1)得到曲线C2，C1与C2合并组成g(x)图象．由g(x)图象可知，g(x)不是奇函数，g(x)不是增函数，g(x)值域为R．当x＞0时，f(－x)图象与g(x)图象没有公共点，从而函数y＝f(－x)－g(x)没有正零点．9．在复平面内，O为坐标原点，A为z＝1－i对应的点，则A．z的虚部为－iB．z6为纯虚数1－3i→C．＝222zD．OA＝z答案：BC．解：z的虚部为－1，选项A错误．z6＝(z2)3＝(－2i)3＝8i，是纯虚数，选项B正确．1－3i|－1＋3i|2→→＝＝＝2，选项C正确．OA2＝|z|2＝2，z2＝－2i，OA2≠z2，选z|z|2项D错误．D110．如图，玻璃制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内部灌进一多半水后封闭，仅让底面棱BC位于水平A1C1地面上，将容器以BC为轴进行旋转，水面形成四HB1G边形EFGH，忽略容器壁厚，则DA．AD始终与水面EFGH平行E11F．四边形面积不变BEFGHAC．有水部分组成的几何体不可能是三棱柱CD．AE＋BF为定值B答案：AC．解：可知BC∥水面EFGH，因为A1D1∥BC，所以A1D1始终与水面平行，选项A正确．EH＝FG，EF改变，水面所在四边形EFGH面积改变，选项B错误．有水部分组成的几何体为棱柱，因为水的体积大于一半容器容积，所以不可能是三棱柱，选项C正确．有水部分的棱柱体积不变，高BC也不变，所以底面面积不变，所以当且仅当E，F分别在棱AA1，BB1上时，AE＋BF是定值（反例可否定），选项D错误．211．设M(x1，y1)，N(x2，y2)为抛物线C：x＝4y上两点，F为C的焦点，直线MN经过点D(0，6)，则xA．若|MF|＝3，则|NF|＝19B．C在点M处的切线经过点(1，0)2C．∠MFN为钝角D．若|DM||DN|＝48，则|x1＋x2|＝4答案：ABD．解：MN不垂直于x轴，可设y＝kx＋6，联立x2＝4y得x2－4kx－24＝0，△＝16k2＋96＞0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－24．222x1x(xx)因为F(0，1)，若|MF|＝3，则y＝2，而yy＝·2＝12＝36，故y＝18，|NF|＝19，11244162选项A正确．小题详解第3页（共6页）2xxxxxx由y′＝知C在点M处的切线方程为y－1＝1(x－x)，即y＝1(x－1)，经过点(1，0)，2421222选项B正确．→→22由F(0，1)得FM·FN＝x1x2＋(kx1＋5)(kx2＋5)＝(k＋1)x1x2＋5k(x1＋x2)＋25＝1－4k，而111M，N，F不共线，当|k|＜时，∠MFN为锐角，当|k|＝时，∠MFN为直角，当|k|＞时，222∠MFN为钝角，选项C错误．→→22|DM||DN|＝－DM·DN＝－x1x2－(y1－6)(y2－6)＝－(k＋1)x1x2＝24(k＋1)．2由24(k＋1)＝48，得k＝±1，即x1＋x2＝±4，选项D正确．3212．函数f(x)＝x＋ax＋9x＋1的导函数f′(x)满足f′(x)≥f′(2)，则A．f(0.56)＋f(3.43)＞6B．f(ln10)＞f(3－ln2)33eC．f()＜f(2－)D．f(2＋3)＜f()ππ10答案：BCD．解：由f′(x)＝3(x－1)(x－3)．可知f(x)在(－∞，1)单调递增，在(1，3)单调递减，在(3，＋∞)单调递增，且f(x)图象关于点(2，3)中心对称．由对称性得f(0.56)＝6－f(3.44)，从而f(0.56)＋f(3.43)＞6等价于f(3.43)＞f(3.44)，因为3＜3.43＜3.45，选项A错误．20因为1＜ln10＜3，1＜3－ln2＜3，而ln10－(3－ln2)＝ln＜0，所以ln10＜3－ln2，因e3此f(ln10)＞f(3－ln2)，选项B正确．当0＜x＜1时，g(x)＝f(x)－f(2－x)单调递增，所以g(x)＜g(1)＝0，即f(x)＜f(2－x)，因333为0＜＜1，所以f()＜f(2－)，选项C正确．πππ222当x＝2±3时，x－4x＋1＝0，所以f(x)＝x(x－4x＋1)－2(x－4x＋1)＋3＝3，从而eeef(2＋3)＝f(2－3)，f()＜f(2＋3)等价于f()＜f(2－3)，因为2－3＜＜1，所以101010ef(2－3)＜f()，选项D正确．1013．若集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B真子集的个数为_______．答案：7．解：0123A∩B＝{2，3，4}，真子集的个数为C3＋C3＋C3＝2－1＝7．14．如图，电商平台售卖的木制“升斗”，底部封闭，上部开口，把该升斗看作一个正四棱台，该四棱台侧棱与底面成角的余弦值为_______．2答案：．2解：(40－22)222该四棱台侧棱与底面成角的余弦值为＝．182小题详解第4页（共6页）15．等比数列{an}前6项中的两项分别为1，2，记事件A：a3＜0，事件B：{an}既不是递增数列也不是递减数列，则P(A|B)＝_______．1答案：．2解：若等比数列{an}既不是递增数列也不是递减数列，则公比为负数．因为{an}前6项中的两项分别为1，2，所以1，2只能是{an}的第1，3，5项或第2，4，6项中的两项．2事件A∩B：若a3＜0，则{an}的第1，3，5为负，第2，4，6项为正，共有A3种可能．2事件B：1，2是{an}第1，3，5项或第2，4，6项中的两项，有2A3种可能．2P(A∩B)A31所以P(A|B)＝＝2＝．P(B)2A3216．对20进行“乘以2”或“减去3”的一种运算，对得到的结果再进行“乘以2”或“减去3”的一种运算，…，一直进行这样运算，每进行一种运算记作一次运算，已知运算n次后，得到结果为49，则n的最小值为_______．答案：16，数学建模后，知n值最小的运算顺序为[(20－3－3－3－3)×2－3]×2×2－3＝49．解法1：画“树状图”可知得到结果49时n的最小值为9，运算顺序为[(20－3－3－3－3)×2－3]×2×2－3＝49．解法2：由49为奇数且不为3的倍数，得第n次运算为“52－3”，且最小的n值应使“乘以2”运算的次数最少．设n次运算中有k(1≤k≤n－1)次是“乘以2”，第ak次是“乘以2”运算，其中1≤a1＜a2＜…＜ak＜n－1，则{{[20－3(a1－1)]×2－3(a2－a1－1)}×2－3(a3－a2－1)}×2…－3(n－ak)＝49．小题详解第5页（共6页）（1）当k＝1时，由[20－3(a1－1)]×2－3(n－a1)＝49，得49－3a1－3n＝52，n＋a1＝－1，无解．（2）当k＝2时，由{[20－3(a1－1)]×2－3(a2－a1－1)}×2－3(n－a2)＝49，得6a1＋3n＋3a2＝49，无解．（3）当k＝3时，由{{[20－3(a1－1)]×2－3(a2－a1－1)}×2－3(a3－a2－1)}×2－3(n－a3)＝49，得4a1＋2a2＋a3＋n＝51．因为1＜a1＜a2＜a3＜n－1，所以a1≤6，n≥8．若n＝8，则4a1＋2a2＋a3＝43，只能a3＝7，此时2a1＋a2＝18无解．若n＝9，当a1＝6时，2a2＋a3＝18无解；当a1＝5时，a2＝7，a3＝8，运算顺序为[(20－3－3－3－3)×2－3]×2×2－3＝49．于是n的最小值为9．小题详解第6页（共6页）