2023美国女子数学奖金赛 中文翻译

2023美国女子数学奖金赛中文翻译1.一幅画的框架呈×的正方形，其中心去掉了一个×的正方形。这个框架是由角度为和的全等等腰梯形构成的。每个梯形有一个底边在框架的外缘，一个底边在框架的内缘。框架的每条外边上都包含一个奇数个的梯形底边，这些底边交替排列，长的、短的、长的、短的等等。那么框架中最多可能有多少个梯形？2.在坐标平面上，水平线与三次函数的图像交于三个点，和，已知是和的中点。那么等于多少？3.你有5000个不同的有限集合。它们的交集为空集。然而，任意两个集合的交集都不为空。它们的并集中包含的元素的最小可能数量是多少？4.设是边长为1的等边三角形。对于、和，令是位于边界上，以顺时针方向距离的1/3的点，令是位于边界上，以逆时针方向距离的1/3的点。那么和的交集的面积与面积的比是多少？5.锐角三角形的面积为870。以的高的脚为顶点的三角形的面积为48平方单位。求的值。6.解方程组：7.通过在一行的十二个的连续间隔的每一个空位中插入加号或乘号，得到一个算术表达式。这些符号是按照统一和独立的随机方式选择的。那么结果表达式计算为的概率是多少？8.对于一个正整数，设表示能够整除的不同质数的数量。求满足不等式的正整数的解的数量。9.下图所示的环由18个全等的正六边形构成。有多少种方式可以使用由两个六边形组成的瓷砖来铺满环，其中每个六边形与设计中的18个六边形中的任意一个全等，并且瓷砖是边对边相连的。（中央的黑色六边形不要被瓷砖覆盖，环不能旋转或翻转。）10.找出所有在0到素数4099之间的整数，使得能被4099整除。11.随机生成一个三角形,其方式如下:独立地掷一对标准骰子三次，通过对每次掷出的骰子数相加得到三个介于2到12之间（包括2和12）的随机数。将这三个随机数称为，和。这个随机三角形有两边长分别为和，且它们之间的夹角测量为度。这个三角形是一个直角三角形的概率是多少？12.设是由形如的分数组成的集合，其中和是正整数，是和的最小公倍数。在中，超过3的最小数是多少？13.定义函数,其中。设，，。求的值。14.一个球的表面随机选择并独立地选择五个点。然后，从这五个点中随机选择2个点，每对点的选择概率均相等。这两个点由包含其他三个点的平面分隔的概率是多少？15.将一个正方形分成四个非重叠的等腰三角形。设是这四个三角形中其中一个角的度数。计算所有可能不同的值的和。（考虑所有可能的图形。）16.定义函数。定义表示与自身次复合。例如，。对于正整数，集合是使得多项式的根的并集的复数集合。定义为复平面上以实轴和虚轴平行的最小矩形，包含。求的面积的平方。17.设是一个单位立方体。设是一个平移的，使得的一个角位于的中心，的一个位于的中心。设是在通过两个立方体中心的直线上，从的中心朝向的中心，顺时针旋转后的图形。求与的交集的体积。18.一个单位正方形用图像的片段装饰如下：我们考虑限定在区间上的图像。我们将第一象限（正象限）分割成以格点顶点为顶点的单位正方形。我们将每个正方形按照堆叠的顺序进行平移，使它们叠放在一起。我们合并所有这些正方形。通过重叠的抛物线图像，单位正方形被分成了多少个区域？19.设。求最大的正整数，使得能够整除。20.定义。对于，递归定义如下：求满足以下条件的区间的个数：，，， 在上是递增的。