2023印度尼西亚数学奥林匹克

2023印度尼西亚数学奥林匹克文渊中学龙崎钢译第一天题1.锐角三角形ABC中,BC是最长边.点D和E分别位于AC和AB上,满足BA=BD且CA=CE.点A′是点A关于直线BC的对称点.证明⊙(ABC)和⊙(A′DE)的半径相等.题2.求所有函数f:R→R,使得对于所有实数x和y都有f(f(x)+y)=⌊x+f(f(y))⌋.注：⌊x⌋表示不大于x的最大整数.题3.在一个黑板上写着一个自然数n.每一步,嫩嫩和阿塞普按照以下规则改变黑板上的数字：假设黑板上的数字是X.初始时,嫩嫩选择向上或向下的符号.然后,阿塞普选择X的一个正因子d,如果嫩嫩选择了”up”,则将X替换为X+d,如果嫩嫩选择了”down”,则将X替换为X−d.这个过程一直重复进行.如果黑板上出现了一个非零完全平方数,阿塞普赢；如果在任何时候写下了零,则阿塞普输.证明如果n≥14,则阿塞普可以确保在不超过(n−5)/4步内获胜.题4.确定是否存在一个自然数N满足以下三个条件：•N可被22023整除,但不能被22024整除;•N只含有三个不同的非零数字;•N的所有数字中,恰有百分之99.9的数字都是奇数.第1页共2页第二天题5.正整数a和b满足gcd(a,b)+lcm(a,b)是a+1的倍数.如果b≤a,证明b是完全平方数.题6.求1,2,...,n的排列a1,a2,...,an的数量,使得对于每个满足1≤k≤n的正整数k,都存在一个整数r满足0≤r≤n−k且满足以下条件：1+2+···+k=ar+1+ar+2+···+ar+k.◦题7.给定一个直角三角形ABC,其中∠ACB=90.设ω为三角形ABC的外接圆.在ω上点B和点C处的切线交于点P.设M是线段PB的中点.直线CM与ω再次交于点N,直线PN与AB交于点E.过E作BM的平行线与CM交于点D.证明⊙(CDE)与ω相切.题8.设a,b,c是三个不同的正整数.对于每个由(a,b,c)的排列(p,q,r)组成的二次方程px2+qx+r=0,定义S(a,b,c)为其有理根的集合.例如,S(1,2,3)={−1,−2,−1/2},因为方程x2+3x+2的根为−1和−2,方程2x2+3x+1=0的根为−1和−1/2,而对于(1,2,3)的其他排列,所形成的二次方程没有有理根.求S(a,b,c)中元素个数的最大值.第2页共2页