四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试文科数学答案

绵阳市高中2021级第一次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BBCADBACBCBC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．714．15．16．1三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）由S1，2S2，3S3成等差数列，则4S2=S1+3S3，得3a3=a2， 3分∴数列{an}的公比q， 4分由，数列{an}的通项公式； 6分（2）令，则， 8分∴当时，， 9分∴当或4时，Tn取得最大值：． 12分18．解：（1）∵，∴，而， 2分∴，即， 3分∴的最小正周期为：； 4分（2）由题意，， 5分∵，∴， 7分∴Z， 9分∴， 10分∴的最小值为． 12分19．解：（1）∵为奇函数，∴，解得：m=2． 5分（2）当m>0时，2x2+m>0，∴函数不可能有两个零点． 6分当m<0时，由，解得：或m2， 7分要使得f(x)仅有两个零点，则， 8分即，此方程无解．故m=0，即， 9分令，则，，解得：或，解得：，故在，上递增，在上递减， 10分又，故函数仅有一个零点． 12分20．解：（1）∵cos(CB)sinA=cos(CA)sinB∴(cosCcosB+sinCsinB)sinA=(cosCcosA+sinCsinA)sinB 2分∴cosCcosBsinA=cosCcosAsinB 3分又∵△ABC为斜三角形，则cosC≠0，∴cosBsinA=cosAsinB， 5分∴sin(AB)=0，又A，B为△ABC的内角，∴A=B； 6分（2）在△ABC中，由（1）知，a=b，由正弦定理，则， 7分又，即，∴，∴==sin2Bsin22B， 9分∴=sin2Bsin22B=sin2B4cos2Bsin2B=sin2B4(1sin2B)sin2B， 10分令sin2B=t，令f(t)=t4(1t)t=4t23t， 11分又因为0＜sin2B<1，即0＜t<1，∴当t=时，f(t)取最小值，且f(t)min=，综上所述：的最小值为． 12分21．解：（1）方法一：， 1分因为在上单调递增，∴恒成立，故：当时，恒成立． 3分设，则，则，易知，所以，故令得到：；令得到：．∴在上递减；在上递增． 5分故：当时，．∴实数a的取值范围：． 6分方法二：，因为在上单调递增，所以恒成立，等价于：在上恒成立， 2分设，则，，当时，，∴在上递减，，符合题意． 3分当时，易知在上递减，在上递增，在上递减，因为，故只需满足（由易得），符合题意． 4分当时，易知在(1，a)上递减，在(a，2)上递增，在上递减，因为，故只需满足，即，当时，易知在(1，2)上递增，在上递减， 5分，不符合题意．综上：实数a的取值范围：． 6分（2）的极值点个数等价于的变号零点个数，令，则等价于的变号零点个数， 7分当时，；当时，，由（1）可知，，当时，易知在上递减，故有唯一变号零点1； 8分当时，易知在上递减，在上递增，在上递减，因为，，故有唯一变号零点1；当且时，易知在上递减，在(a，2)上递增，在上递减， 9分，，若，即时，有唯一变号零点1； 10分若，即且时，有三个变号零点1，，，且。当时，易知在上递减，在(1，2)上递增，在上递减， 11分由于，，有唯一变号零点，且.综上：当且时，有三个极值点；当或时，有唯一极值点． 12分22．解：（1）曲线C1的参数方程为C1：（t为参数），由得C1的普通方程为：； 2分曲线C2的参数方程为C2：（为参数），所以C2的普通方程为：； 4分（2）曲线C1的极坐标方程为：， 5分∴， 6分由得：，∴射线：与曲线C1交于A， 7分曲线C2的极坐标方程为，由得：，∴射线：与曲线C2交于B， 9分则==． 10分23．解：（1） 1分∴， 2分解得， 4分∴不等式的解集为； 5分（2）证明：由，可得的最小值为， 6分则，，∴ 7分 8分，当且仅当时，等号成立， 9分∴． 10分