重庆市名校联盟2023-2024学年度第一期期中联合考试数学试题参考答案(高2025届)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1—8ABCADABB二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分。9.BD10.ABC11.ABD12.BCD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.314.1(答案不唯一,小于2的整数都可以)15.xy2016.,227.【详解】过D作DGCE,垂足为G,假定ABCD和BCEF均为正方形,且边长为1则BC平面CDG,故BCDG,又BCCEC,DG平面BCEF3故直线BD在平面BCEF内的射影为BG,由已知可得DGCDcos,32DG6则以直线BD与平面BCEF所成的角正弦值sinDBG,BD46所以直线BD与平面BCEF内直线所成的角正弦值最小为,4而直线BD与PQ所成角最大为90(异面垂直),即最大正弦值为1.故选:B12.【详解】将正四面体ABCD放入正方体DEBFGAHC中,以点D为原点,以DE,DF,DG所在直线为x轴,y轴,z轴,如图所示,因为正四面体ABCD的长为2,所以正方体的棱长为2,则A(2,0,2),B(2,2,0),C(0,2,2),因为点M,N分别为ABC和△ABD的重心,2222222222222222所以点N的坐标为(,,),点M的坐标为(,,),所以NC(,,)333333333222222设NPNC,则NP(,,),3332222222222所以OPONNP(,,),3333332222222222所以AP(,,),3333332222222222BP(,,),333333214对于A:因为AP(2882288281682)(221),93214BP(2882816822882)(221),934443所以APBP(221)(221)221,33343当0时,即CPCN,PN0,取得最小值,故A错误;3高2025届【数学答案】·第1页(共8页){#{QQABJYYEggAAAgAAAQgCUwFgCkIQkAAACIoORBAEoAABwQNABAA=}#}1222对于B:若CP3PN,则NPNC,所以OP(,,),4222因为BA(0,2,2),BC(2,0,2),设平面ABC的一个法向量为n1(x,y,z),2y2z0则,取,则,x1n1(1,1,1)2x2z02因为OPn,所以OP平面ABC,即DP平面ABC,故B正确;212226222223对于C:若DP平面ABC,则NP(,,),即NP,AN(,,),即AN,66663333设平面ABO的一个法向量为n2(x,y,z),因为OA(2,0,2),OB(2,2,0),2x2z0则,取x1,则n2(1,1,1),2x2y02因为NPn,所以NP平面ABO,则三棱锥PABC外接球的球心在直线NP上,6223又因为点N为等边三角形ABO的重心,所以点N为等边三角形ABO的外心,ABO外接圆半径为AN,32226436设三棱锥PABC外接球的半径为R,则R(RNP)AN,即R2(R)2,解得R,63427π所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为4πR2,故C选项正确;2222222222222对于D:因为点N的坐标为(,,),点M的坐标为(,,),所以MN(0,,),33333333设平面ACD的一个法向量为n3(x,y,z),因为OA(2,0,2),OC(0,2,2),2x2z0所以,取x1,则n3(1,1,1),2y2z0因为MNn30,且直线MN平面ACD,所以直线MN//平面ACD,所以点N到平面ACD的距离就是直线MN到平面ACD的距离,22则点到平面的距离ONn326,NACDd3n33926即直线MN到平面ACD的距离为,故D正确,故选:BCD.916.【详解】由AB2,BAD120,E为边BC的中点知:B且BE1,3易知AEEC,AEBE,而ECBEE,故AE⊥面BEC,故AE与BC的夹角为.11112高2025届【数学答案】·第2页(共8页){#{QQABJYYEggAAAgAAAQgCUwFgCkIQkAAACIoORBAEoAABwQNABAA=}#}111若G是AB的中点,又F为BD的中点,则GF//AD且GFAD,而ECBCAD且EC//AD,11222所以GF//EC且GFEC,即FGEC为平行四边形,故EGCF且EG//CF,故F的轨迹与G到G的轨迹相同。因为AE⊥面B1EC,所以B到B1的轨迹为以E为圆心,B1E为半径的半圆,而G为AB中BE1BE点,故G到G的轨迹为以AE中点为圆心,1为半径的半圆,所以F的轨迹长度为21。2222四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题满分10分)732解:(1)BC边所在直线的斜率kBC6033因为BC所在直线的斜率与BC高线的斜率乘积为1,所以BC高线的斜率为,……………(3分)2又因为BC高线所在的直线过A4,03所以BC高线所在的直线方程为y0(x4),即3x2y120………………(5分)2(2)设BC中点为M,则中点M3,5,又kAM5,……………………………(8分)所以BC边上的中线AM所在的直线方程为:y5(x3)5,即:5xy200……………(10分)18.(本小题满分12分)解:(1)以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则B1,1,0,B11,1,1,D10,0,1,A1,0,0,C0,1,0;D1B1,1,1,B1C1,0,1,………………………………(2分)DP因为1,所以,D1PD1BD1B所以APAD1D1PAD1D1B1,0,11,1,11,,1,……………………(4分)所以APB1C110,所以APB1C.…………………………………………………(6分)(2)PCPBBC1D1BBC,1,1,PA1,,1,……………(8分)因为APC为钝角,所以PAPC32410,…………………………………………(10分)1解得1.31又因为32411在R上恒成立,所以1.…………………………………………(12分)3高2025届【数学答案】·第3页(共8页){#{QQABJYYEggAAAgAAAQgCUwFgCkIQkAAACIoORBAEoAABwQNABAA=}#}19.(本小题满分12分)(1)若切线l的斜率不存在,则切线l的方程为x3.………………………………………(2分)若切线l的斜率存在,设切线l的方程为y2kx3,即kxy3k20.因为直线l与圆C相切,所以圆心C1,1到l的距离为2,2k35即2,解得k,…………………………………………………………………(4分)k2112所以切线l的方程为y25x3,即5x12y90.12综上,切线l的方程为x3或5x12y90.………………………………………………(6分)348(3)圆心C到直线m的距离为32,直线m与圆C相离,32(4)222因为QMQC4,所以当QC最小时,QM有最小值.……………………………(8分)348当QCm时,QC最小,最小值为3,3242所以QM的最小值为3245.……………………………………………………………(12分)20.(本小题满分12分)(1)证明:取A1C1的中点为F,连接EF,AF.1E,F分别是BC,AC的中点,EF∥AB.11112111D是AB的中点,ADAB21直三棱柱ABC-ABC,AB∥AB.AD∥AB,EF∥AD.11111211四边形ADEF为平行四边形.……………………………(2分)AF//DE又DE平面ACC1A1,AF平面ACC1A1,所以DE//平面ACC1A1.……………………………(5分)(2)解:选择条件①:BCAC1;-直三棱柱ABCA1B1C1,CC1平面ABC,BC平面ABC,CC1BC,BCAC1,AC1CC1C1,AC1,CC1平面ACC1A1,所以BC平面ACC1A1.而AC平面ACC1A1.BCAC……………………………(7分)又B1C1//BC,A1C1//AC,B1C1A1C1.高2025届【数学答案】·第4页(共8页){#{QQABJYYEggAAAgAAAQgCUwFgCkIQkAAACIoORBAEoAABwQNABAA=}#}以C1为原点,分别以C1A1,C1B1,C1C所在方向为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系C1xyz,则A(2,0,3),B(0,2,3),C1(0,0,0),D1,1,3,E0,1,0,所以C1A(2,0,3),C1B(0,2,3),DE(1,0,3),设n(x,y,z)为平面ABC1的一个法向量,则mC1A02x3z0,即,2y3z0mC1B0令x3,则y3,z2,n(3,3,2),…………………(9分)设直线DE与平面ABC1所成的角为,则nDE130332355sincosn,DE.222nDE323221023110355所以直线DE与平面ABC1所成的角的正弦值为.……………………………(12分)110选择条件②:DEB1C1;取A1B1的中点为D1,连接DD1,D1E.-直三棱柱ABCA1B1C1,D,D1分别是AB,A1B1的中点,DD1平面A1B1C1,B1C1平面A1B1C1,B1C1DD1,DEB1C1,DEDD1D,DE,DD1平面DED1,所以B1C1平面DED1.而ED1平面DED1.B1C1ED1.……………………………(7分)E,D1分别是B1C1,A1B1的中点,ED1//A1C1,B1C1A1C1.以C1为原点,分别以C1A1,C1B1,C1C所在方向为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系C1xyz,则A(2,0,3),B(0,2,3),C1(0,0,0),D1,1,3,E0,1,0,所以C1A(2,0,3),C1B
重庆市名校联盟2023-2024学年高二上学期期中联合考试 数学答案
2023-11-26
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