北京丰台区高三期中数学试题及答案

2023北京丰台高三（上）期中数学2023.11一、选择题共10小题，每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。x1．已知集合Px=−x|11≤≤，Qx=N|0≤，则PQ=x−2（A）xx|01≤≤（B）xx|1−0≤≤（C）0,1,2（D）0,12．下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（A）y=2x（B）yx=ln||（C）yx=3（D）yx=tan1i+a3．在复平面上，复数所对应的点在第二象限，则实数a的值可以为2i−1（B）1（A）−2（C）2（D）34．已知平面向量ab,满足|a|=2，|b|=1，且ab=1，则|ab+=2|（A）12（B）4（C）23（D）235．在△ABC中，acosB−=bc，则A=2（A）（B）63（C）（D）3611+an*6．数列an满足aa11==,n+(nN)，则a2023=21−an1（A）（B）321（C）−2（D）−37．设定义在R上的函数y=f()x，其导函数为fx'()，则“函数f()x在[,]ab上单调递增”是“x(,)ab时，导函数fx'()0”的第1页/共9页（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件8．将函数fxx=si2)n(的图象向左平移个单位后得到函数gx()的图象，若函数yf=+xgx()()的最大值为a，则的值不可能为（A）1（B）21−（C）2（D）21+A9．分贝（dB）、奈培（Np）均可用来量化声音的响度，其定义式分别为1dB=10lg，A01A1Np=ln，其中A为待测值，A0为基准值．如果1dB=Nttp()R，那么t（参考数据：2A0lge0.4343）（A）8.686（B）4.343（C）0.8686（D）0.11510．如图，已知BD是圆O的直径，AC是与BD垂直的弦，且AC与BD交于点E，点P是线段AD上的动点，直线PE交BC于点Q.当PDPB取得最小值时，下列结论中一定成立的是（A）OQBC⊥（B）OPAD⊥（C）PQAB（D）OPACAPEOBDQC二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。x+311．函数fx()=的定义域为___．x+112．已知平面向量ab=(1,2),=(2,−1)，若mab+与ab−共线，则m的值为___．22213．能说明命题“对于任意st,R，[max{s,t}]=max{s,t}”为假命题的一组整数．．st,的值依次为___．（max{ab,}表示实数ab,中的最大值）1,,xa14．已知函数fx()=xa−其中aR．2x−2x,x≥a,第2页/共9页（Ⅰ）当a=0时，函数fx()的单调递增区间为___；（Ⅱ）若函数的值域为A，存在实数mA，则a的取值范围为___．12*15．已知数列an满足aaaan==+,2()N，则11nn+2*①当a=−1时，存在kN，使得ak=2；②当a=1时，为递增数列，且an2恒成立；③存在aR，使得中既有最大值，又有最小值；1④对任意的，存在nN*，当nn时，|2a|−恒成立．00n2023其中，正确结论的序号有___．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（本小题14分）3在△ABC中，a=5，b=11，cosC=．5（Ⅰ）求的面积；（Ⅱ）求c及sinA的值．17．（本小题14分）在各项均为正数的等比数列中，Sn为其前n项和，且aa31−=3，S3=7.（Ⅰ）求an和；（Ⅱ）设bSnn=+log2(1)，记Tnn=b12+b++b，求Tn.18．（本小题13分）已知函数f(x)=+sinx(acosx)．（Ⅰ）当时，求曲线y=f()x在(0,f(0))处的切线方程；（Ⅱ）若在x=处取得极值，求实数的值及函数的单调区间．3第3页/共9页19．（本小题14分）设函数fxxxx()3sincoscos(02)=+2,从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．（Ⅰ）求函数fx()的解析式；π（Ⅱ）求在区间[0,]上的最小值．25π1条件①：函数的图象经过点(,)；122条件②：函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为；2条件③：函数的图象的一条对称轴为x=．6注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.20．（本小题15分）已知函数fx(x)ln(=+1)，gx()kx=．（Ⅰ）当k=1时，求函数h()()()x=−fxgx的最大值；（Ⅱ）若关于x的不等式f()()x≤gx恒成立，求实数k的值．21．（本小题15分）对于一个n行列的数表Annn(≥2)，用aij,表示数表中第i行第j列的数，其中aij,Z(i,j=1,2,,n)，且数表Ann满足以下两个条件：n①；an1,j=j=1②aai++1,j1=i,j，规定aai+1,n+1=i+1,1(i=1,2,,n−1,j=1,2,,n).（Ⅰ）已知数表A33中，a1,1=3，a1,2=−1.写出a1,3，a2,2，a3,1的值；（Ⅱ）若a1,1++−=ak1,knmaxaaa1,1−+−1,1,11,22,,a1,1++−ank1,({1,2,,n})，其中maxM表示数集M中最大的数.规定aa1,n+1=1,1.证明：a1,k+1−10≤；（Ⅲ）证明：存在mn{1,2,,}，对于任意ln{1,2,,}，有am,1+am,2++am,l≤l.第4页/共9页参考答案2023.11一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．题号12345678910答案DCDCDCBDAB二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．[−3,−1)(−1,+)12．−113．−−2,1(答案不唯一)14．[1,+)，(2,)+15．②③④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题14分）3解：（Ⅰ）因为在△ABC中，cosC=，又0C，54所以sin1cosCC=−=2．…………………………………………3分5114所以SabC===sin51122．…………………………………………6分△ABC225（Ⅱ）由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC，…………………………………………7分3得c2=25+121−2511=80．…………………………………………9分5因为c0，所以c=45．…………………………………………11分ac由正弦定理=，…………………………………………12分sinACsin45aCsin5得sinA==5=.…………………………………………14分c45517．（本小题14分）解：（Ⅰ）设等比数列an的公比为qq(0).2由已知得a11q−=a3，……①…………………1分2a1+a1q+a1q=7，……②…………………2分q2−13由①÷②得=(a0)，即4qq2−3−10=0.…………………3分17++qq215解得q=2或q=−（舍）.…………………4分4代入①或②得a1=1,…………………5分n−1所以an=2，…………………6分1−qnSa==21n−．…………………8分n11−q第5页/共9页n（Ⅱ）由已知得bnn==log22…………………10分(1)+nn所以Tn=+++=12．…………………14分n218．（本小题13分）解：（Ⅰ）由题意得，fx(x)xsin=cos，所以fxxxxxx()coscossin(sin)cos2=+−=，所以f(0)1=，又f(0)0=，所以曲线yf=x()在点(0,(0))f处的切线方程为yx=.………4分（Ⅱ）由题意得，fxxaxxx()cos(cos)sin(sin)=++−=acosx+cos22x−sinx=+axcxoscos2.………6分因为fx()在x=处取得极值，3所以f()0=，3即acos+=cos0，33解得a=1.………8分经检验符合题意.故f(x)=+cosxcos2x，………9分令fx()0，cosxx+cos20，解得−+22kx+k，33所以函数的单调递增区间为(−+2kk,+2)，kZ；………11分33令fx()0，cosxx+cos20，解得+22kx+k，33所以函数的单调递减区间为(+2kk,+2)，.………13分3319．（本小题14分）解：（Ⅰ）f(x)=+3sinxcosxcos2x3cos2x+1=+sin2x22π1=sin(2x+)+．………2分62选条件①第6页/共9页5π1由条件①可知，函数fx()的图象经过点(,)，1225π1所以f()=，1225ππ11即sin(2)++=，126225ππ得sin()0+=，665ππ所以+=kπ，6616解得=−+k，kZ.………4分55因为02，所以=1.………5分π1所以fxx()sin(2)=++.………6分62选条件②由条件②可知，函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为，2所以函数的最小正周期为T=π，………4分所以=1．………5分所以.………6分选条件③由条件③可知，函数fx()的图象的一条对称轴为x=，6πππ所以2+=+kπ，.662解得=+13k，.………4分所以．………5分所以.………6分π（Ⅱ）由0≤x≤，2ππ7π得≤2x+≤，………8分6661π则−+≤sin(2x)≤1，263所以0≤fx()≤．………11分2第7页/共9页π7ππ当2x+=，即x=时，662fx()取得最小值0.………14分20．（本小题15分）解：（Ⅰ）当k=1时，hx()f(x)g(=−x)=+ln(−1xx)，…………………1分函数hx()的定义域为(1,−+)，…………………2分1−xhx'()1=−=，…………………3分xx++11令hx'()0=，得x=0.…………………4分所以x(1,0)−0(0,)+hx'()+−极大值…………………6分所以hx()h(0)≤0=，即函数的最大值为0．…………………7分（Ⅱ）令=+ln(−1x)k0x≤恒成立，…………………8分易知h(0)=0，hk(1)=−ln2≤0，所以k≥ln20.…………………9分(另解：当x0时，ln(x+1)0，故kx0，因此k0)11−kx+−kh'(x)=−k=.………………10分xx++111−k1−k令，得x=（注：−11−kk−）,…………………11分kk所以1−k1−k1−k(−1,)(,)+kkk极大值…………………12分1−k1−k若k1，则0，则函数在取到最大值h()，……………13分kk1−k而hh()=(0)0，与题设不符，舍去.…………………14分k因此，．…………………15分另解：当时，由（I）得hx()≤0恒成立…………………12分1−k当k1时，hk'(0)=1−0，故在(,0)上单调递减k第8页/共9页1−khh()(0)0=，与题设不符，舍去…………………13分k1−k当01k时，hk'(0)1=0−，故hx()在(0,)上单调递增k，与题设不符，舍去…………………14分综上，k=1．…………………15分21.（本小题15分）解：（Ⅰ）a1,32,23,1aa=1,=3,1=−.…………3分（Ⅱ）假设a1,1k+−10≤不成立，则a1,1k+−10若kn=时，则aa1,11,1k+−=1−10.由①知max1,2,,aaaaan1,11,11,2−+−++−1,11,n0与题设矛盾；若kn≤−1时，则aaak1,1+++−+1,1,1kk+(1)a1,1ak++−1,k与题设矛盾；综上得a1,k+1−10≤.…………8分（Ⅲ）若aakaaaaan1,1++−=−+−++−1,knmax1,2,,1,11,11,21