河南省平许济洛四市联考2023-2024学年高三上学期第一次质量检测 数学参考答案

平许济洛2023-2024学年高三第一次质量检测数学参考答案一、选择题12345678DCBCCADB二．选择题9101112ABDCDACDBC三．填空题13.1114.7523015.16.113四、解答题17.解：（1）∵(c2−a2−b2)sinBcosB=abcos(A+B)，c2−a2−b2cos(A+B)∴=……………….……..……….………….………….……1分absinBcosB−2cosC∴−2cosC=,……………….………….………….………….………….…..3分sin2B∵C是锐角，∴cosC≠0，∴sin2B＝1，π∵0＜B＜，即0＜2B＜π，2π∴2B＝，即B＝；……………….……….………….………….………….……..5分42（2）∵sinB＝，212∴S△ABC＝acsinB＝ac，……………….…………….………….………..……..6分24{#{QQABAYKUogCgAAJAAAhCQwHACgAQkBGACCoGgBAIsAAAgRNABAA=}#}2∵b＝2，cosB＝，2∴由余弦定理得：22＝a2+c2﹣2ac×≥2ac﹣2ac，……………….…..……..8分∴（2﹣）ac≤4，即ac≤2（2+），2∴S△ABC＝ac≤×2（2+）＝2+1，4当且仅当ac==4+22时，等号成立，∴△ABC的面积的最大值为+1．……………….………….………….……..…..10分nn2++1n2+n+4−S解：由n，得222，18.(1)=Snn−(n+n+4)S+3(n+n+1)=0Sn3即(S−3)S−(n2+n+1)=0，解得(舍)或2，2分nnSn=3Sn=n+n+1……….…当n=1时，aS11==3，22当n2时，an=−SnSn−1=n+n+1−(n−1)−(n−1)−1=2n，……….…….4分3,n=1,所以，an=.………….………….………….……..……………………5分2nn,2a1a2aa3a4n(2)Tnn=−+−+−+−++−(a11)2(a21)2(a31)2(a41)2...(a1)2=+++++223324526728...(2n−1)22n=+++++16342543744...(2n−1)4n=+++++12141342543...(2n−1)4n……….………….……..…………………7分123n令Rnn=14+34+54+...+(2−1)4，①234nn+1则4Rn=1++++43454...(2n−+3)4(2n−1)4，②23nn+1①-②得：−3Rnn=++++−42424...24(2−1)4{#{QQABAYKUogCgAAJAAAhCQwHACgAQkBGACCoGgBAIsAAAgRNABAA=}#}32(1−4n−1)=4+−(2n−1)4n+114−322=4−+4nn++11−(2n−1)433205=−+(−2n)4n+1…………………………………………………………..……….10分33202n5所以R=+(−)4n+1，n939202nn5128(6−5)所以T=12++(−)4nn++1=+41,nN*.………..……….12分n9399919.解：（1）补全的2×2列联表如下：不喜爱喜爱合计男性3090120女性255580合计55145200零假设为H0：性别与对活动的喜爱程度无关．200(3055−9025)2300根据表中数据，计算得到2==2.7065514512080319根据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此我们可以认为成立，即认为对该场活动的喜爱程度与性别无关．.……………………………..….4分（2）①记“戏迷甲至少正确完成其中3道题”为事件A，则3434313189PA()=CC44+=444256．…………………………….……………………….7分②X的可能取值为2，3，4CC22153CC13404PX(=2)=26==PX(=3)=26==C47014C47078，8，CC04153PX(=4)=26==C470148，…………………………………………………………….10分{#{QQABAYKUogCgAAJAAAhCQwHACgAQkBGACCoGgBAIsAAAgRNABAA=}#}X的分布列为；X23434P147343数学期望EX()=2+3+4=3．……………………………………….…..12分1471420.解：（1）证明：∵平面FGH∥平面ABED，平面BCFE∩平面ABED＝BE，平面BCFE∩平面GHF＝HF，∴BE∥HF．∵BC∥EF，∴四边形BHFE为平行四边形，则BH＝EF．∵BC＝2EF，∴BC＝2BH，H为BC的中点．……………….……………………..1分同理G为AC的中点，则GH∥AB，……………….…………………………….…..2分∵AB⊥BC，∴GH⊥BC．又HC∥EF且HC＝EF，∴四边形EFCH是平行四边形，则CF∥HE．又CF⊥BC，∴HE⊥BC．……………….……..…………………………………….4分又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，∴BC⊥平面EGH；……………….…………………………………………………..6分（2）∵AB⊥CF，CF∥HE，GH∥AB，∴HE⊥GH．以H为坐标原点，分别以HG，HB，HE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．=BAC45=ABC为等腰直角三角形，即ABBC.则E（0，0，1），F（0，﹣1，1），G（1，0，0），D（1，0，1），EF=−(0,1,0)，EG=−(1,0,1)，FG=−(1,1,1)，GD=(0,0,1)．……………….…………………………………..8分{#{QQABAYKUogCgAAJAAAhCQwHACgAQkBGACCoGgBAIsAAAgRNABAA=}#}设平面EFG的一个法向量为m=(,,)x1y1z1．mEF=−y1=0由，取x1=1，得m=(1,0,1)；mEG=x11−z=0设平面FGD的一个法向量为n=(,,)x2y2z2．nFG=x2+y2−z2=0由，取x2＝1，得m=−(1,1,0)．……………….….…..10分nGD==z20→→mn1∴cosmn,==．|mn|||2设平面EFG和平面DFG的夹角为，则→→1cos=|cosmn,|=.21∴平面EFG和平面DFG的夹角的余弦值．……………….…………………………..12分2121.解：由题意：函数f(x)的定义域为（0,）f'(x)1xx(0,1),f'(x)0,x(1,),f'(x)0yf(x)在（0，1）上为减函数，在（1，）上为增函数，fm(1)1.2分即yf(x）图象与直线y1m相切.1x由gx'(),exx(0,1),g'(x)0,x(1,),g'(x)01yg(x)在（0，1）上为增函数，在（1，）上为减函数，g(1)=,e1即yg().x图象与直线y相切e11两函数图象均与平行于x轴的同一条直线相切，则1mm,即1.4分eexxxxx12（2）F(x)xlnxmlnm,令t12,texexexexx12e由F()()0x1Fx2，得-lnt1t1m-lnt2t2m0xx12函数ylnttm在（0，）上为减函数，故t12t,即，7分eexx12{#{QQABAYKUogCgAAJAAAhCQwHACgAQkBGACCoGgBAIsAAAgRNABAA=}#}即g(x1)g(x2)，不妨设0x11x2,xx122要证eee,只需证x12x2，只需证x22-x1，即证g(x2)g(2x1),因为g()()x12gx只需证g(x1)g(2x1)，即g(x1)-g(2x1)0.........................9分令h(x)g(x)-g(2x)xx2,x(0,1),eexx211xxe2xxe则h'(x)(1x)0,.....................11分exe22xexexhx()在(0,1)上单调递增，h(x)h(1)0,原题得证.....................................................................12分22.(1)设P(,)xy，M(,)x00y，则N(−x0,y0)，过点N且平行于y轴的直线方程为：x=−x0，…….………………………………1分y直线OM的方程为：yx=0，…….…………………………………………….2分x0x=−x02y2x联立两直线方程y，相乘得：yx2=−0，x2=−0yy=0xx0y0x02因为M在抛物线C上，所以x0=−4y0，所以xy24，………………………………………………………………………………4分由题意知O、M不重合，故x0，所以曲线E的方程为()……………………………………………….5分（2）由（1）知直线y1，当点A在特殊位置(0,1)时，显见两个切点PP12,关于y轴对称，故要使得AB⊥PP12，点B必须在y轴上．1212故设（m，﹣1），（0，n），P(x,x)，P(x,x)，11412242{#{QQABAYKUogCgAAJAAAhCQwHACgAQkBGACCoGgBAIsAAAgRNABAA=}#}111曲线E的方程为yx2(x0)，求导得yx'，所以切线AP的斜率k=x，421121121直线的方程为y−x=x(x−x)，又点A在直线上，412111212所以−1−x=x(m−x)，整理得x−2mx−4=0，41211112同理可得x2−2mx2−4=0，2故x1和x2是一元二次方程x2mx40的根，由韦达定理得x1+x2=2m，……………………..…………………………………………………....9分x1x2=−412121PPAB=(x−x,x−x)(−m,n+1)=(x−x)[4m(n1)(xx)]122142414212111＝(x−x)−4m+2m(n+1)=m(x−x)(n−1)，421221可见n1时，P1P2AB=0，……………….……..(11分)所以存在定点B(0,1)，使得AB⊥PP12恒成立．……………….……………….…..12分{#{QQABAYKUogCgAAJAAAhCQwHACgAQkBGACCoGgBAIsAAAgRNABAA=}#}