2023年高三8·30理科数学开学模拟考试（学生版）——统考

绝密★启用前2023年8·30高三开学数学考试理科数学注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合，，则（）A． B． C． D．2、复数的虚部为，且，则（）A． B． C． D．3、若，则（）A． B． C． D．4、函数的图像在点处的切线方程为（）A． B． C． D．5、已知抛物线的顶点为，经过点，且为抛物线的焦点，若，则()A． B． C． D．6、某公司统计了2023年1月至6月的月销售额(单位万元)，并与2022年比较，得到同比增长率数据，绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是()注:同比增长率=(今年月销售额—去年同期月销售额)去年同期月销售额A．2023年1月至6月的月销售额的极差为6B．2023年1月至6月的月销售额逐月递增C．2023年1月至6月的月销售额的中位数为D．2022年5月的月销售额为8万元7、已知，且，函数，在上单调，则的取值范围是()A． B． C． D．8、一个封闭的圆锥形容器内装水若干，如图①所示，锥体内的水面高度为，将锥顶倒置，如图②所示，水面高度为，已知该封闭的圆锥形容器的高为，且，忽略容器的厚度，则()A． B． C． D．①②9、简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明代科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水桶都做匀速圆周运动（如图2），将筒车抽象为一个半径为10的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，以筒车的中心为原点，线段所在的直线分别为轴建立如图所示的直角坐标系（为圆上的点），分别用，表示秒后两点的纵坐标，则的最大值为（）A．50 B．75 C． D．100图1图210、已知函数的定义域为，，，则下列说法不正确的是（）A． B．C．是奇函数 D．是偶函数11、如图，在正方体中，，点，分别为，的中点，则四面体外接球的表面积为（）A． B．C． D．12、已知分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线与交于两点（点在第一象限），延长交于点，若，，则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13、已知向量，，若，则．14、若满足约束条件则的最大值为．15、位于数轴上的粒子每次向左或者向右移动一个单位长度，若前一次向左移动一个单位长度，则后一次向右移动一个单位长度的概率为，若前一次向右移动一个单位长度，则后一次向右移动一个单位长度的概率为，若粒子第一次向右移动一个单位长度的概率为，则粒子第二次向左移动的概率为．16、在锐角中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是．解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．必考题：共60分．17、（12分）已知为正项等比数列，，记为数列的前项和，，.（1）求的通项公式；（2）求.18、（12分）“摸奖游戏”是商场促销最为常见的形式之一，某摸奖游戏的规则如下：第一次在装有2个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，第二次在装有1个红球、1个白球、1个黑球的袋中随机取出1个球，两次取球相互独立，两次取球合在一起称为一次摸奖，取出的3个球的颜色与获得的积分对应如下表.所取球的情况三球同色三球均不同色其他情况所获得的积分100600（1）记一次摸奖中所获得的积分为，求的分布列和期望；（2）记甲在这次游戏获得0积分为事件，甲在袋中摸到黑球为事件，判断事件是否相互独立，并说明理由.19、（12分）如图，在正四棱台中，.（1）证明：；（2）若正四棱台的高为，过的平面与平行，求平面与平面夹角的余弦值.20、（12分）已知椭圆的右顶点为，点在圆上运动，且的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）不经过点的直线与交于两点，且直线和的斜率之积为，求直线被圆截得的弦长.21、（12分）已知函数，，是的导函数．（1）证明：存在唯一零点．（2）若关于的不等式有解，求的取值范围．选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22、[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线与的直角坐标方程；（2）已知直线的极坐标方程为（，），直线与曲线，分别交于，（异于点）两点，若，求．23、[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若对任意的，存在，使得，求的取值范围．