湖南省衡阳市第八中学2023-2024学年高三上学期第2次（10月）月考数学试题

衡阳市八中2024届高三第2次月考数学试题命题人：刘瑶审题人：颜军注意事项：本试卷满分为150分，时量为120分钟一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1．若集合A{x|0x2}，B{x|x21}，则AB（）A．{x|0x1}B.{x|1x2}C．{x|0x2}D．{xx0或x1}2．在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（，﹣）B．（，）C．（0，﹣1）D．（0，1）f(x)f(x)213．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2[0,)(x1x2)，有0，则（）x2x1A．f(1)f(2)f(3)B．f(2)f(1)f(3)C．f(3)f(1)f(2)D．f(3)f(2)f(1)4．已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S3nS2nS2nSn”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．某校高三有1000人参加考试，统计发现数学成绩近似服从正态分布N(105，σ2)，且成绩优良（不低于120分）的人数为360，则此次考试数学成绩及格（不低于90分）的人数约为（）A．360B．640C．720D．780x2y2．椭圆的左、右焦点分别为F，F，A为上顶点，若△AFF的面积为，则△AFF的周长为621a31212312a3（）A．8B．7C．6D．57．设函数fxaxmexaxlnx（其中e为自然对数的底数），若存在实数a使得fx0恒成立，则实数m的取值范围是（）1121A．,B．,C．e,D．,e2ee28．如图，在三棱锥SABC中，SASCAC22,ABBC2，二面角SACB的正切值是2，则三棱锥SABC外接球的表面积是（）43A．12πB．4πC．43πD．π3二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分）试卷第1页，共4页{#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}9．已知向量a(1,3),b(2,4)，则下列结论正确的是（）3A．(ab)aB．|2ab|10C．向量a,b的夹角为D．b在a方向上的投影向量是10a410．设等比数列an的前n项和为Sn，前n项积为Tn，若满足0a11，a7a40401，a20231a202410，则下列选项正确的是（）A．an为递减数列B．S20231S2024C．当n2023时，Tn最小D．当Tn1时，n的最小值为404711．已知函数fxcos2x2sinx，则（）A．函数fx在区间,上单调递增B．直线x是函数fx图象的一条对称轴6223C．函数fx的值域为1,D．方程fxax0,2π最多有8个根，且这些根之和为8π2212．已知直线l:ykx2交y轴于点P，圆M:x2y21，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则（）15A．若直线l与圆M相切，则kB．当k2时，四边形PAMB的面积为219157C．直线AB经过一定点D．已知点Q,0，则CQ为定值4三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13．在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数e2.71828．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有个．114．曲线fxxaex在点0,f0处的切线与直线yx垂直，则a.215．底面ABCD为菱形且侧棱AE底面ABCD的四棱柱被一平面截取后得到如图所示的几何体.若DADHDB4，AECG3.则三棱锥FBEG的体积为__________________16．设a0，平行于x轴的直线l:ya分别与函数y2x和y2x1的图像交于点A，B，若函数y2x的图像上存在点C，满足ABC为等边三角形，则a．四、解答题（本大题共6小题，共70分）试卷第2页，共4页{#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}317．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，ABAC1且c>b．2(1)求角A的大小；3(2)设M为BC的中点，且AM，求a的长度．218．某工艺品加工厂加工某工艺品需要经过a，b，c三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序加工合格3率分别为，1，1．三道工序都合格的工艺品为特等品；恰有两道工序合格的工艺品为一等品；恰有一道工序合422格的工艺品为二等品；其余为废品．(1)求加工一件工艺品不是废品的概率；(2)若每个工艺品为特等品可获利300元，一等品可获利100元，二等品将使工厂亏损20元，废品将使工厂亏损100元，记一件工艺品经过三道工序后最终获利X元，求X的分布列和数学期望．19．在图1中，ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，AB22，ACD为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且EC2BE，沿AC将ACD进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得FB4．(1)证明：FO平面ABC．(2)求二面角EFAC的余弦值．220．若数列An满足An1An，则称数列An为“平方递推数列”．已知数列an中，a19，点an,an1在函数f(x)x22x的图象上，其中n为正整数，(1)证明：数列an1是“平方递推数列”，且数列lgan1为等比数列；a,ab,(2)设bnlgan1,cn2n4，定义a*b，且记dnbn*cn，求数列dn的前n项和Sn．b,ab,试卷第3页，共4页{#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}x2y221．已知双曲线C:1a0,b0的右焦点，右顶点分别为F，A，B0,b，AF1，点M在线段AB上，a2b2且满足BM3MA，直线OM的斜率为1，O为坐标原点.(1)求双曲线C的方程.(2)过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，在x轴上是否存在与F不同的定点E，使得EPFQEQFP恒成立？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.122．已知函数fxlnxax，a0.x(1)讨论fx极值点的个数；(2)若fx恰有三个零点t1,t2,t3t1t2t3和两个极值点x1,x2x1x2.（ⅰ）证明：fx1fx20；1mem（ⅱ）若mn，且mlnmnlnn，证明：nlnn1.t1t2t3试卷第4页，共4页{#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}参考答案：123456789101112ACDCBCAAACBCBCDACD83613.3614.115.16．3324．C【详解】因为数列an是公差为d的等差数列，所以3n(3n1)2n(2n1)n(5n1)SS3nad2nadnad，3n2n1212122n(2n1)n(n1)n(3n1)SS2nadnadnad，所以SS(SS)n2d，2nn1212123n2n2nn2若等差数列an的公差d0，则nd0，所以S3nS2nS2nSn，故充分性成立；2若S3nS2nS2nSn，则S3nS2n(S2nSn)nd0，所以d0，故必要性成立，所以“d0”是“S3nS2nS2nSn”的充分必要条件，故选：C.3606405．B【详解】因为P(X90)P(X120)，所以P(X90)1P(X90)，所以此次考试数学成绩10001000640及格（不低于90分）的人数约为1000640.故选：B1000x2y2．【详解】设椭圆的半短轴长为，半焦距为c，6C21a3ba3△1则b3，AF1F2的面积SF1F2b3c2由题知3c3，所以c1，ab2c22，△由椭圆的定义知AF1AF22a4，又F1F22c2，所以AF1F2的周长为426.故选：C.mexlnxlnxmex7．A【分析】由题意可得(a)(a)0，令gx,h(x)，函数ygx和函数yhx的图象，xxxx一个在直线ya上方，一个在直线ya下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案．【详解】函数fx的定义域为(0,)，xxxmelnxlnxme由fx0，得(axme)axlnx0，所以(a)(a)0，令g(x),h(x)，xxxx由题意知，函数ygx和函数yhx的图象，一个在直线ya上方，一个在直ya下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，lnx1lnx由g(x)(x0)，得g(x)，所以当x0,e时，gx0,gx单调递增，xx2lne1当x(e,)时，gx0,gx单调递减，所以gxg(e)，g(x)没有最小值，maxee答案第1页，共11页{#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}mexmexxmexmex(x1)由h(x)(x0)，得h(x)，xx2x2当m0时，在x0,1上hx0,hx单调递增，在x(1,)上hx0,hx单调递减，所以hx有最大值，无最小值，不合题意，当m0时，在x0,1上hx0,hx单调递减，在x(1,)上hx0,hx单调递增，所以h(x)minh(1)me，111所以h1ge即me，所以m，即m的取值范围为(,)．故选：A．ee2e28．A【分析】利用二面角SACB的正切值求得SB，由此判断出BSBABC2，且BS,BA,BC两两垂直，由此将三棱锥补形成正方体，利用正方体的外接球半径，求得外接球的表面积.【详解】设E是AC的中点，连接EB,ES，由于SASC,ABBC，所以ACSE,ACBE，所以SEB是二面角SACB的平面角，所以tanSEB2，sinSEBtanSEB3由cosSEB得cosSEB.223sinSEBcosSEB122在SAC中，SESA2AE22226，2在ABE中，BEAB2AE22222，在△SEB中，由余弦定理得：SBSE2BE22SEBEcosSEB2，所以BSBABC2，由于SASCAC22，所以BS,BA,BC两两垂直.由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为23.2设正方体外接球的半径为R，则R3，所以外接球的表面积为4πR212π，故选：A.rrr9．AC【详解】对于A，ab3,1，由aba31130，则aba，故A正确；对于B，2ab21,32,44,2，2ab422225，故B错误；2ab102对于C，a