山东省菏泽市定陶区明德学校（山大附中实验学校）2023-2024学年高三上学期第一次阶段性考试数学试

高三第一次阶段性考试数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．已知集合，则（）．A． B．C． D．2．设，则（）．A． B． C． D．3．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数n是（）．（，）A．40 B．41 C．42 D．434．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且A，B，C，D四个顶点在同一平面内，下列结论：①平面；②平面平面；③；④平面平面．正确命题的个数为（）．A．1 B．2 C．3 D．45．过抛物线，焦点F倾斜角为的直线交抛物线于A，B，则（）．A． B． C．1 D．166．为了迎接“第32届菏泽国际牡丹文化旅游节”，某宣传团体的六名工作人员需要制作宣传海报，每人承担一项工作，现需要一名总负责，两名美工，三名文案，但甲，乙不参与美工，丙不能书写文案，则不同的分工方法种数为（）．A．9种 B．11种 C．15种 D．30种7．设实数x，y满足，，，则的最小值为（）．A． B． C． D．8．已知曲线在点处的切线方程为，则（）．A．， B．，C．， D．，二、多选题（本大题共4小题，共20分．在每小题有多项符合题目要求）9．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（）．A．频率分布直方图中a的值为0.04B．这100名学生中体重不低于60千克的人数为20C．这100名学生体重的众数约为52.5D．据此可以估计该校学生体重的75％分位数约为61.2510．已知圆，下列说法正确有（）．A．对于，直线与圆O有两个公共点B．圆O与动圆有四条公切线的充要条件是C．过直线上任意一点P作圆O的两条切线，（A，B切点），则四边形的面积的最小值为4D．圆O上存在三点到直线距离均为111．已知函数，下列命题正确的有（）．A．在区间上有3个零点B．要得到的图象，可将函数图象上的所有点向右平移个单位长度C．的最小正周期为，最大值为1D．的值域为12．设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段的中点．下列结论正确的是（）．A．直线与垂直B．若点M坐标为，则直线方程为C．若直线方程为，则点M坐标为D．若直线方程为，则三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知夹角为的非零向量，满足，，则__________．14．定义在R上的函数，，满足为偶函数，为奇函数，若，则__________．15．设x，y均为非零实数，且满足，则__________．16．正三棱锥的高为，M为中点，过作与棱平行的平面，将三棱锥分为上下两部分，设上、下两部分的体积分别为、，则__________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题10分）已知各项均不相等的等差数列的前五项和，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若为数列的前项和，求．18．（本小题12分）为了促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某校成立了生物科技小组，在同一块试验田内交替种植A、B、C三种农作物（该试验田每次只能种植一种农作物），为了保持土壤肥度，每种农作物都不连续种植，共种植三次．在每次种植A后，会有的可能性种植B，的可能性种植C；在每次种植B的前提下再种植A的概率为，种植C的概率为，在每次种植C的前提下再种植A的概率为，种植B的概率为．（1）在第一次种植B的前提下，求第三次种植A的概率；（2）在第一次种植A的前提下，求种植A作物次数X的分布列及期望．19．（本小题12分）如图，在平面四边形中，，，．（1）试用表示的长；（2）求的最大值．20．（本小题12分）在长方体中，，．点E是线段上的动点，点M为的中点．（1）当E点是中点时，求证：直线平面；（2）若二面角的余弦值为，求线段的长．21．（本小题12分）若．（1）当，时，讨论函数的单调性；（2）若，且有两个极值点，，证明：．22．（本小题12分）如图，椭圆的焦点分别为，，A为椭圆C上一点，的面积最大值为．（1）求椭圆C的方程；（2）若B、D分别为椭圆C的上、下顶点，不垂直坐标轴的直线l交椭圆C于P、Q（P在上方，Q在下方，且均不与B，D重合）两点，直线，的斜率分别为，，且，求面积的最大值．数学答案和解析1．D2．C3．C4．D5．A6．C7．B8．D9．ACD10．BC11．BC12．BCD3．214．115．116．解：如图（a），连接并延长交于点D，连接并与的延长线交于点E，过E作，分别与、交于点F，G，则平面就是过且与棱平行的平面．（b）如图（b），过点M作，由平行线性质与中位线定理得，设，则，，，．故，故，设点A到面距离为h．因此．故答案为：．17．【解析】（1）设数列的公差为d，则，即．又因为，所以．所以．（5分）（2）因为，（7分）所以．（10分）18．【答案】解：设，，表示第i次种植作物A，B，C事件，其中，2，3．（1）在第一次种植B的情况下，第三次种植A的概率为．（4分）（2）由已知条件，在第1次种植A的前提下：，，，，，，（6分）因为第一次必种植A，则随机变量X的可能取值为1，2，，，所以X的分布列为：X12P（8分）．（12分）19．解：（1）因为，，，所以，，（2分）在中，，所以．（5分）（2）在，，所以．（8分）因为，所以，当时，取到最大值．故的最大值是．（12分）20．（1）证明：取的中点N，连结，，，，，∴四边形为平行四边形，可知．（2分）平面，平面，∴平面．（4分）（2）解：设，如图建立空间直角坐标系．，，，，（6分），，，，（7分）平面的法向量为，由及得，平面的法向量为，由及得，（10分），即，解得或（舍去），所以．（12分）21．（1）解：因为，所以当，时，．（1分）令，解得或2．若，则当或时，；当时，．所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．若，，故函数在上单调递增．若，当或时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．（4分）综上所述，当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减．（6分）（2）证明：当时，．因为函数有两个极值点，，所以方程有两个正根，，所以，且，即．（8分）由题意得．（10分）令，则，所以在上单调递减，所以，所以．（12分）22．【答案】解：（1），∴，，故椭圆C的方程为．（4分）（2）依题意设直线的方程为，，，，，联立方程组消元得：，∴，，（6分），由得：，两边同乘，得，即．（8分）将，，代入上式得：，整理得：，所以或（舍），（10分），当且仅当时等号成立，满足条件，所以面积的最大值为．（12分）