数学-湖南省三湘名校教育联盟2023-2024学年高二上学期11月期中

三湘名校教育联盟・2023年下学期高二期中联考数学本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则AxZx4x30Bxylog2x2ðRBAA.2,2B.1,0,1C.2,1,0,1,2D.2.已知复数z的共轭复数z满足z2i1i，则z在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限y2x23.已知双曲线C：1a0,b0的焦距为45，实轴长为4，则C的渐近线方程为a2b215A.y2xB.y5xC.yxD.yx2514.已知数列an中，a13，an1n…2，则a2023等于an1112A.B.C.D.32335.已知P1x1,y1，P2x2,y2是直线ykx2023（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组x1xy1y1,的解的情况，下列说法正确的是x2xy2y1A.无论k，P1，P2如何，总是无解B.无论k，P1，P2如何，总有唯一解x1C.存在k，P1，P2，使是方程组的一组解y2D.存在k，P1，P2，使之有无穷多解6.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，球O是正方体的内切球，点G是内切球O表面上的一个动点，则GBGC的取值范围为A.0,4B.222,0C.4,222D.222,222fx1fx27.已知定义域为R的函数fx满足fxfx，当x1,x2,0且x1x2时，0x1x2成立.若存在x0,1使得f1axx2f2a成立，则实数a的取值范围是A.,1B.22,C.222,222D.1,x2y28.已知双曲线C：1a0,b0，M和N分别为实轴的右端点和虚轴的上端点，过右焦点F的a2b2直线l交C的右支于A，B两点.若存在直线l使得点M为△NAB的重心，则C的离心率为4A.B.2C.2D.53二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线l：kxy2k10和圆O：x2y28，则A.直线l恒过定点2,1B.直线l与圆O相交C.存在k使得直线l与直线l0：x2y40平行D.直线l被圆O截得的最短弦长为2310.设函数fxsinx0，则下列说法正确的是6A.若fx的最小正周期为，则22B.若1，则fx的图象关于点,0对称34C.若fx在区间0,上单调递增，则023713D.若fx在区间0,2上恰有2个零点，则„121211.已知F为抛物线E：y22pxp0的焦点，A，B，C是E上三点，且A1,2，则下列说法正确的是A.当B，C，F三点共线时，BC的最小值为4B.若BC12，设B，C中点为M，则点M到y轴距离的最小值为632C.若2BFFC，O为坐标原点，则△BOC的面积为2D.当ABAC时，点A到直线BC的距离的最大值为4212.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C的中点，点F和点P分别满足D1FD1C1，D1PD1B，其中,0,1，则下列说法正确的是A.BP平面AECB.AP与平面BDD1B1所成角的取值范围为45,6052C.PEPF的最小值为66D.点P到直线BC的距离的最小值为PE16三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆C过点O0,0，且与直线xy40相切，则满足要求的面积最小的圆C的标准方程为______.3sin22sin214.已知sin，则的值为______.451tan15.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，AB2，AC1，BAC60，则此球的体积为______.x2y2x2y2如图，椭圆：和：有相同的焦点，，离心率分别为，，16.C1221a1b10C2221F1F2e1e2a1b1a2b2e1B为椭圆C1的上顶点，F2PF1P，F1，B，P三点共线且垂足P在椭圆C2上，则的最大值是______.e2四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，存在四点A0,1，B7,0，C4,9，D1,3.（1）求过A，B，C三点的圆M的方程，并判断D点与圆M的位置关系；（2）若过D点的直线l被圆M截得的弦长为8，求直线l的方程.18.（本小题满分12分）长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，2023年5月该中学进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组40,50，第2组50,60，第3组60,70，第4组70,80，第5组80,90，第6组90,100，得到频率分布直方图（如图），观察图中信息，回答下列问题：（1）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的平均数和第71百分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从成绩在第5组和第6组的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率.19.（本小题满分12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且bcosC3bsinCac0.（1）求角B；（2）若点D满足2ADDC，且BD1，求△ABC的面积的最大值.20.（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，ABP90，ABBP2，点D在平面ABP内的投影F是AB的中点，E是PC的中点.（1）证明：EF∥平面ADP；（2）若PD3，求二面角DEFP的正弦值.21.（本小题满分12分）已知函数fxae2xex，gxlnx.（1）求函数gx2x6的单调递增区间；1（2）若对任意x2,e，存在x1,0，使得fx1gx2，求实数a的取值范围；e（3）若函数Fxfxfx，求函数Fx的零点个数.22.（本小题满分12分）x2y2椭圆E：1的左、右焦点分别为F，F.过F作直线l交E于A，B两点.过F作垂直于直线l的43121121直线l2交E于C，D两点.直线l1与l2相交于点P.（1）求点P的轨迹方程；（2）求四边形ACBD面积的取值范围.三湘名校教育联盟・2023年下学期高二期中联考・数学参考答案、提示及评分细则1.【答案】C【解析】因为AxZx4x303,2,1,0,1,2，又或，，所以，故Bxylog2x2xx2x2ðRBx2„x„2ðRBA2,1,0,1,2选C.2.【答案】A1i1i2i131313【解析】由z2i1i可得zi，所以zi，对应点为,，在2i2i2i555555第一象限.故选A.3.【答案】C【解析】由已知得，双曲线的焦点在y轴上，双曲线的焦距2c45，解得c25，双曲线的实轴长为2a4，解得a2，则bc2a22044，a1即双曲线C的渐近线方程为yxx.故选C.b24.【答案】D5.【答案】By1kx12023,【解析】由题意则x1y2x2y1x1kx22023x2ky120232023x1x20，y2kx22023,（直线ykx2023的斜率存在，∴x1x2），故l1：x1xy1y1与l2：x2xy2y1相交，∴方程组总有唯一解.A，D错误，B正确；x1,x12y11,若是方程组的一组解，则则点P1x1,y1，P2x2,y2在直线x2y1，即y2x22y21,11x1,yx上，但已知这两个点在直线ykx2023上，这两条直线不是同一条直线，∴不可能是22y2方程组的一组解，C错误.故选B.6.【答案】D【解析】取BC中点为H，因为GBGHHB，GCGHHC，222所以GBGCGHHCGH1，222又GHGOOH，则GHGOOH2GOOH，又正方体的棱长为2，则正方体的内切球半径为21，则GO1，OH2，所以GH322cosGO,OH，2所以GBGCGH1222cosGO,OH，所以当GO，OH反向时，cosGO,OH1，GBGC有最小值为222；当GO，OH同向时，cosGO,OH1，GBGC有最大值为222.故选D.7.【答案】D【解析】由条件可知函数fx在R上单调递减.存在x0,1使得f1axx2f2a成立等价于存在x0,1使得不等式1axx22a成立.由1axx22a得1xax21，∵x0,1，∴x21x211x…0，∴①当x1时，02不成立；②当x0,1时，a有解.求当x0,1时，函数y1x1x的最小值.x21(1t)212令t1xt0,1，则yt2，1xtt2而函数yt2是0,1上的减函数，所以当且仅当t1，即x0时，ymin1.t故a1，故选D.8.【答案】A3ab【解析】依题意，，点为的重心时，中点设，Ma,0N0,b.M△NABABP,.Bx1,y122x2y2x2y2b2bAx,y，则111，221.两式作差得：kk.其中，k.又因为B，A，22a2b2a2b2BAOPa2OP3abbbb24F，P四点共线，所以kk2.故2，解得3c4a，故e.故选A.BAFP3a3a2cc3aa3229.【答案】BD【解析】对于A，由kxy2k10可得，kx2y10，令x20，即x2，此时y1，所以直线l恒过定点2,1，A错误；对于B，因为定点2,1到圆心的距离为41522，所以定点2,1在圆内，所以直线l与圆O相交，B正确；11对于C，因为直线l：x2y40的斜率为，所以直线l的斜率为，此时直线l的方程为022x2y40，直线l与直线l0重合，故C错误；对于D，设直线l恒过定点A2,1，圆心到直线l的最大距离