20230919数学统练一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出导函数，然后利用导数几何意义求出切线斜率，代入点斜式方程即可求解.【详解】因为，所以，所以，.所以曲线在点处的切线方程为，即.故选：A.2.函数f(x)＝3＋xlnx的单调递减区间是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求导，令f′(x)<0，解得00的a的取值范围是A.(0，2) B.(1，) C.(1，2) D.(0，)【答案】B【解析】【分析】在区间（﹣1，1）上，由f（﹣x）＝﹣f（x），且f′（x）＞0可知函数f（x）是奇函数且单调递增，由此可求出a取值范围．【详解】∵函数f（x）＝x3+sinx，x∈（﹣1，1），则f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）在区间（﹣1，1）上是奇函数；又f′（x）＝3x2+cosx＞0，∴f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增；∵f（a2﹣1）+f（a﹣1）＞0，∴﹣f（a﹣1）＜f（a2﹣1），∴f（1﹣a）＜f（a2﹣1），∴，求得1＜a＜，故选B．【点睛】本题考查了判断函数的奇偶性和单调性的问题，综合运用了函数的奇偶性和单调性解不等式进行合理的转化，属于中档题．6.设函数，则下列是函数f（x）极大值点的是（）A.π B.-π C.π D.-【答案】D【解析】【分析】求出函数的导函数，再根据极值点的定义即可得出答案.【详解】解：由，得，令，则或，则当时，，当时，，所以函数在递减，在上递增，所以函数f（x）极大值点的是.故选：D.7.已知，，，且，，，则（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用导数判断函数单调性，作出图象，数形结合求解即可.【详解】由题意，得，，．设，则，当时，；当时，，所以在上为增函数，在上为减函数，结合，时，；时，，易画出的草图（如下图），又，，，结合a，b，c的取值范围及的图象，可得，故选：D8.设，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小.【详解】方法一：构造法设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.方法二：比较法解：，，，①，令则，故在上单调递减，可得，即，所以；②，令则，令，所以，所以在上单调递增，可得，即，所以在上单调递增，可得，即，所以故二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设为实数，且，则下列不等式正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】题目考察不等式的性质，A选项不等式两边同乘负数要变号；B,C选项可以通过举反例排除；D选项根据已知条件变形可得【详解】已知,对各选项逐一判断：选项A：因为,由不等式性质，两边同乘负数，不等式变号，可得,所以选项A错误.选项B：取,,,,则,,此时,所以选项B错误.选项C：取,,,,则,,此时,所以选项C错误.选项D：因,所以,所以,即,所以选项D正确.故选：D.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数存在两个不同的零点B.函数既存在极大值又存在极小值C.当时，方程有且只有两个实根D.若时，，则t的最小值为2【答案】ABC【解析】【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．【详解】对于A，由，得，∴，故A正确；对于B，，当时，，当时，，∴在，上单调递减，在上单调递增，∴是函数的极小值，是函数的极大值，故B正确；对于C，当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．故选：ABC.【点睛】本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．11.若函数有两个极值点，设这两个极值点为，，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求导分析出函数的极大值点即可.【详解】，，令，则方程两根为，，且，所以，，，，所以，为的极大值点，即.故选:D.12.已知函数f(x-2)是定义在R上的偶函数，且对任意的x1，x2∈[0，+∞)(x1≠x2)，总有>0，则下列结论正确的是（）A.f(-6)0，不妨设0≤x10，不妨设0≤x10，所以f(x1-2)-f(x2-2)<0，f(x1-2)知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最值问题中的应用，属于难题．21.已知函数.（1）若函数在处的切线与直线平行，求的值；（2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据导数几何意义，利用切线斜率可构造方程求得的值；（2）令，将问题转化为对任意恒成立；求导后，当时，可知单调递增，由此可知；当时，可知在上单调递减，可知此时不满足；综合两种情况可得结果.【小问1详解】，在处的切线与平行，，解得：.【小问2详解】令，则对任意恒成立，；①当时，，则在上恒成立，，满足题意；②时，令，解得：；当时，，此时单调递减，，不合题意；综上所述：实数的取值范围为.22.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.【答案】（1）递增区间为，递减区间为（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据导数与单调性的关系求解即可；（2）由题知，进而令