数学-江苏省南京市2023-2024学年高二上学期期中学情调研测试

南京市2023－2024学年度第一学期期中调研测试高二数学2023.11注意事项：1．本试卷共6页，包括单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第12题)、填空题(第13题~第16题)、解答题(第17题~第22题)四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2：3：5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本．若样本中A型号的产品有20件，则样本容量n为A．50B．80C．100D．2002．已知复数z0＝3＋i，其中i为虚数单位，复数z满足zz0＝3z＋z0，则z＝A．1－3iB．1＋3iC．3＋iD．3－i3．已知圆C1：x2＋y2－x－ay＝0与圆C2：x2＋y2－2x－4y＋2＝0的公共弦所在直线与x轴垂直，则实数a的值为A．－4B．－2C．2D．44．《数书九章》天池测雨：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数，即平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积．假令器形为圆台，盆口径(直径)一尺四寸，底径(直径)六寸、深一尺二寸，接雨水深六寸(一尺等于十寸)，则平地降雨量为A．1B．2C．3D．45．已知cosx＋sinx＝eq\f(\r(,2),3)，则eq\f(sin2x,cos(x－\f(π,4)))＝ A．－eq\f(7,16) B．－eq\f(7eq\r(2),6) C．－eq\f(7,6) D．－eq\f(7,3)6．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为双曲线右支上一点，连接AF1交y轴于点B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为A．2eq\r(,3) B．eq\f(3,2) C．eq\r(,3) D．eq\f(3\r(,3),2)7．在平面直角坐标系xOy中，P为直线3x＋4y＋1＝0上一点．若向量a＝(3，4)，则向量eq\o(OP,\s\up8(→))在向量a上的投影向量为A．－eq\f(1,5)B．(－eq\f(3,5)，－eq\f(4,5))C．(－eq\f(3,25)，－eq\f(4,25)) D．无法确定8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)．若x∈R，f(x)≤f(eq\f(π,3))，且f(x)在(0，π)上恰有1个零点，则实数ω的取值范围为 A．(0，eq\f(3,2)] B．(eq\f(3,4)，eq\f(3,2)] C．(eq\f(3,4)，eq\f(9,4)] D．(eq\f(3,2)，eq\f(9,4)]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则A．众数是22B．80百分位数是28C．平均数是30D．前4个数据的方差比最后4个数据的方差小10．声音是由物体的振动产生的声波，一个声音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯音的函数解析式为y＝Asinωx．设声音的函数为φ(x)，音的响度与φ(x)的最大值有关，最大值越大，响度越大；音调与φ(x)的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉．假设复合音甲的函数解析式是f(x)＝sinx＋eq\f(1,2)sin2x，纯音乙的函数解析式是g(x)＝eq\f(3,2)sinωx(ω＞0)，则下列说法正确的有A．纯音乙的响度与ω无关B．纯音乙的音调与ω无关C．若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则ω＞1D．复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)为抛物线C上的任意三点(异于O点)，eq\o(FA,\s\up8(→))＋eq\o(FB,\s\up8(→))＋eq\o(FD,\s\up8(→))＝0，则下列说法正确的有A．设A，B到直线x＝－1的距离分别为d1，d2，则d1＋d2＜ABB．FA＋FB＋FD＝6C．若FA⊥FB，则FD＝ABD．若直线AB，AD，BD的斜率分别为kAB，kAD，kBD，则eq\f(1,kAB)＋eq\f(1,kAD)＋eq\f(1,kBD)＝012．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB＝8，AD＝6，点E是正方形BCC1B1内部或边界上异于点C的一点，则下列说法正确的有A．若D1E∥平面ABB1A1，则EC1CB．设直线D1E与平面BCC1B1所成角的最小值为θ，则tanθ＝eq\f(2\r(,2),3)C．存在EBB1，使得∠D1EC＞eq\f(π,2)D．若∠D1EC＝eq\f(π,2)，则EB的最小值为3eq\r(,5)－3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy中，已知点M(2，eq\r(,3))和N(4，0)，点Q在x轴上．若直线MQ与直线MN的夹角为90°，则点Q的坐标为eq\o(▲,________)．14．在△ABC中，AB＝3eq\r(,6)，∠ABC＝45°，∠BAC＝75°，D是射线BC上一点，且CD＝10，则AD＝eq\o(▲,________)．15．某商场为了促销，每天会在上午和下午各举办一场演出活动，两场演出活动相互独立．每个时段演出的概率分别如下：上午演出时段9：00－9：3010：00－10：3011：00－11：30下午演出时段14：00－14：3015：00－15：3016：00－16：30相应的概率eq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(1,3)若某顾客打算第二天11：00抵达商场并逛3.5小时后离开，则他当天能观看到演出的概率为eq\o(▲,________)．16．已知向量a＝(1，eq\r(,3))，b＝(1，0)，|a－c|＝eq\f(1,2)，则向量b，c最大夹角的余弦值为eq\o(▲,________)．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝sinxcosx－sin2x＋t(x∈R)的最大值为eq\f(\r(,2),2)．（1）求f(x)的解析式；（2）若x∈[eq\f(π,12)，eq\f(π,2)]，f(x)－m≤0，求实数m的最小值．18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在l：x－2y＝0上，且圆C与x轴相切，直线l1：x－ay＝0(a∈R)，D(6，0)．（1）若直线l1与圆C相切，求a的值；（2）若直线l1与圆C相交于A，B两点，将圆C分成的两段弧的弧长之比为1∶3，且DA＝DB，求圆C的方程．19．(本小题满分12分)如图，一个质地均匀的正二十面体骰子的各面上标有数字0~9这10个数字(相对的两个面上的数字相同)，抛掷这个骰子，并记录下朝上一面(与地面或桌面平行)的数字．记事件A1为“抛两次，两次记录的数字之和大于16”，记事件A2为“抛两次，两次记录的数字之和为奇数”，事件A3为“抛两次，第一次记录的数字为奇数”．（1）求P(A1)，P(A2)；（2）判断事件A1A2与事件A3是否相互独立，并说明理由．（第19题图）20．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝b2－eq\f(1,2)ab．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的面积为eq\f(\r(,3),2)，且eq\o(CM,\s\up8(→))＝2eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(AN,\s\up8(→))＝3eq\o(NM,\s\up8(→))，求|eq\o(CN,\s\up6(→))|的最小值．21．(本小题满分12分)如图，在所有棱长都等于1的三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABB1＝eq\f(π,2)，∠B1BC＝eq\f(π,3)．（1）证明：A1C1⊥B1C；（2）求直线BC与平面ABB1A1所成角的大小．ABB1A1C1C（第21题图）22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且焦距为2eq\r(3)，椭圆C的上顶点为B，且eq\o(BF1,\s\up8(→))·eq\o(BF2,\s\up8(→))＝－2．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过点A(2，－1)，且与椭圆C交于M，N两点（不与B重合），直线BM与直线BN分别交直线x＝4于P，Q两点．判断是否存在定点G，使得点P，Q关于点G对称，并说明理由．南京市2023－2024学年度第一学期期中学情调研测试高二数学参考答案2023.11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．C2．A3．D4．B5．D6．C7．C8．B二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．9．ACD10．AC11．BCD12．ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．(eq\f(1,2)，0)14．1415．eq\f(4,9)16．eq\f(eq\r(15)－eq\r(3),8)四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）解：（1）f(x)＝sinxcosx－sin2x＋t＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(1－cos2x,2)＋t 2分＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x－eq\f(1,2)＋t＝eq\f(\r(,2),2)sin(2x＋eq\f(π,4))－eq\f(1,2)＋t． 4分因为f(x)的最大值为eq\f(\r(,2),2)，所以eq\f(\r(,2),2)－eq\f(1,2)＋t＝eq\f(\r(,2),2)，解得t＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝eq\f(\r(,2),2)sin(2x＋eq\f(π,4))． 6分（2）由（1）可知f(x)＝eq\f(\r(,2),2)sin(2x＋eq\f(π,4))，当x∈[eq\f(π,12)，eq\f(π,2)]时，eq\f(5π,12)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4)，当2x＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)