2023年浙江省杭州市中考数学真题（解析版）

2023年杭州市初中学业水平考试数学考生须知：1．本试卷满分120分，考试时间100分钟．2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号．3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明．4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑．5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交．参考公式：二次函数图象的顶点坐标公式：．试题卷一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）1.杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有80800个座位．数据80800用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．【详解】．故选：B．【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．2.（）A.0 B.2 C.4 D.8【答案】D【解析】【分析】先计算乘方，再计算加法即可求解．【详解】解：，故选：D．【点睛】本题考查有理数度混合运算，熟练掌握有理数乘方运算法则是解题的关键．3.分解因式：（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平方差公式分解即可．【详解】．故选：A．【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．4.如图，矩形的对角线相交于点．若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据矩形性质得出，推出则有等边三角形，即，然后运用余切函数即可解答．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∵，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定、矩形的性质、余切的定义等知识点，求出是解答本题的关键．5.在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】先根据平移方式确定点B的坐标，再根据点的横坐标和纵坐标相等列方程，解方程即可．【详解】解：点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点，，即，点的横坐标和纵坐标相等，，，故选C．【点睛】本题考查平面直角坐标系内点的平移，一元一次方程的应用等，解题的关键是掌握平面直角坐标系内点平移时坐标的变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减．6.如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据互相垂直可得所对的圆心角为，根据圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：如图，半径互相垂直，，所对的圆心角为，所对的圆周角，又，，故选D．【点睛】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．7.已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析】先由，，，根据不等式性质得出，再分别判定即可．【详解】解：∵，，∴∵∴A、，故此选项不符合题意；B、，故此选项符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由，，得出是解题的关键．8.设二次函数是实数，则（）A.当时，函数的最小值为 B.当时，函数的最小值为C.当时，函数的最小值为 D.当时，函数的最小值为【答案】A【解析】【分析】令，则，解得：，，从而求得抛物线对称轴为直线，再分别求出当或时函数y的最小值即可求解．【详解】解：令，则，解得：，，∴抛物线对称轴为直线当时，抛物线对称轴为直线，把代入，得，∵∴当，时，y有最小值，最小值为．故A正确，B错误；当时，抛物线对称轴为直线，把代入，得，∵∴当，时，y有最小值，最小值为，故C、D错误，故选：A．【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键．9.一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（）A.中位数是3，众数是2 B.平均数是3，中位数是2C.平均数是3，方差是2 D.平均数是3，众数是2【答案】C【解析】【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的定义，结合选项中设定情况，逐项判断即可．【详解】解：当中位数是3，众数是2时，记录的5个数字可能为：2，2，3，4，5或2，2，3，4，6或2，2，3，5，6，故A选项不合题意；当平均数是3，中位数是2时，5个数之和为15，记录的5个数字可能为1，1，2，5，6或1，2，2，5，5，故B选项不合题意；当平均数是3，方差是2时，5个数之和为15，假设6出现了1次，方差最小的情况下另外4个数为：1，2，3，3，此时方差，因此假设不成立，即一定没有出现数字6，故C选项符合题意；当平均数是3，众数是2时，5个数之和为15，2至少出现两次，记录的5个数字可能为1，2，2，4，6，故D选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、方差，解题的关键是根据每个选项中的设定情况，列出可能出现的5个数字．10.第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，若正方形与正方形的面积之比为，则（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】设，，首先根据得到，然后表示出正方形的面积为，正方形的面积为，最后利用正方形与正方形的面积之比为求解即可．【详解】设，，∵，，∴，即，∴，整理得，∴，∵，∴，∴正方形的面积为，∵正方形面积为，∵正方形与正方形的面积之比为，∴，∴解得．故选：C．【点睛】此题考查了勾股定理，解直角三角形，赵爽“弦图”等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．二、填空题：（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）11.计算:______【答案】【解析】详解】试题解析：12.如图，点分别在的边上，且，点在线段的延长线上．若，，则_________．【答案】##90度【解析】【分析】首先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角的性质求解即可．【详解】∵，，∴，∵，∴．故答案为：．【点睛】此题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．13.一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则_________．【答案】9【解析】【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可．【详解】解：从中任意摸出一个球是红球的概率为，，去分母，得，解得，经检验是所列分式方程的根，，故答案为：9．【点睛】本题考查已知概率求数量、解分式方程，解题的关键是掌握概率公式．14.如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则_________．【答案】2【解析】【分析】连接，首先证明出是的内接正三角形，然后证明出，得到，，进而求解即可．【详解】如图所示，连接，∵六边形是的内接正六边形，∴，∴是的内接正三角形，∵，，∴，∵，∴，∴，同理可得，，又∵，∴，∴，由圆和正六边形的性质可得，，由圆和正三角形的性质可得，，∵，∴．故答案为：2．【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．15.在““探索一次函数的系数与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式．分别计算，的值，其中最大的值等于_________．【答案】5【解析】【分析】分别求出三个函数解析式，然后求出，进行比较即可解答．【详解】解：设过，则有：，解得：，则；同理：，则分别计算，的最大值为值．故答案为5．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解答本题的关键．16.如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则_________（结果用含的代数式表示）．【答案】【解析】【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明，再证，推出，通过证明，推出，即可求出的值．【详解】解：点和点关于直线对称，，，．，，点和点关于直线对称，，又，，，，，点和点关于直线对称，，，，，在和中，，．在中，，，，，，，，，，．，，解得，．故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明．三、解答题：（本大题有7个小题，共66分）17.设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．①；②；③；④．注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．【答案】选②，，；选③，，【解析】【分析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况，再利用公式法解一元二次方程即可．【详解】解：中，①时，，方程有两个相等的实数根；②时，，方程有两个不相等的实数根；③时，，方程有两个不相等的实数根；④时，，方程没有实数根；因此可选择②或③．选择②时，，，，，；选择③时，，，，，．【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解一元二次方程，解题的关键是掌握：对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程没有实数根．18.某校为了了解家长和学生观看安全教育视频的情况，随机抽取本校部分学生作调查，把收集的数据按照A，B，C，D四类（A表示仅学生参与；B表示家长和学生一起参与；C表示仅家长参与；D表示其他）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的未完成的条形统计图和扇形统计图．（1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？（2）补全条形统计图．（3）已知该校共有1000名学生，估计B类的学生人数．【答案】（1）200名（2）见解析（3）600名【解析】【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数；（2）先求出B类学生人数为：(名)，再补画长形图即可；（3）用该校学生总数1000乘以B类的学生所占百分比即可求解．【小问1详解】解：(名)，答：这次抽样调查中，共调查了200名学生；【小问2详解】解：B类学生人数为：(名)，补全条形统计图如图所示：【小问3详解】解：(名)，答：估计B类的学生人数600名．【点睛】本题考查样本容量，条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，从条形统计图与扇形统计图获取到有用信息是解题的关键．19.如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）若的面积等于2，求的面积．【答案】（1）见解析（2）1【解析】【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得，，结合可得，即可证明四边形是平行四边形；（2）根据等底等高的三角形面积相等可得，再根据平行四边形的性质可得．【小问1详解】证明：四边形是平行四边形，，，，，，又，四边形是平行四边形．【小问2详解】解：，，，四边形是平行四边形，．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．20.在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．（1）求的值．（2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．【答案】（1），（2）见解析【解析】【分析】（1）首先将点的横坐标代入求出点A的坐标，然后代入求出，然后将点的纵坐标代入求出，然后代入即可求出；（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出所在直线的表达式，进而求解即可．【小问1详解】∵点的横坐标是2，∴将