数学-江苏省百校大联考2023-2024学年高三上学期第二次考试

江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。选择题部分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z满足z(1+i)=1-3i,则复数z的共轭复数z−的模长为( )A.2 B.3 C.2 D.52.已知集合M={x|1x-1<-1},N={x|lnx<1},则M∪N=( )A.(0,1] B.(1,e) C.(0,e) D.(-∞,e)3.已知平面向量a=(-2,1),c=(2,t),则“t>4”是“向量a与c的夹角为锐角”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,A(π3,0),B(7π12,-1),则f(x)的解析式是( )A.f(x)=sin(x+π6)B.f(x)=sin(x-π6)C.f(x)=sin(2x+π3)D.f(x)=sin(2x-π6)5.将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为x,y,记A事件为“C8x>C8y”,则P(A)=( )A.1136 B.13 C.1336 D.5126.若直线y=ax+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线,则2a+b的最小值为( )A.2ln2 B.ln2C.12ln2 D.1+ln27.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且抛物线C过点P(1,-2),过点F的直线与抛物线C交于两点,A1,B1分别为A,B两点在抛物线C准线上的投影,M为线段AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是( )A.线段AB长度的最小值为2B.△A1FB1的形状为锐角三角形C.A,O,B1三点共线D.M的坐标不可能为(3,-2)8.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+an=1,记bm为数列{an}中能使an≥12m+1(m∈N*)成立的最小项,则数列{bm}的前2023项和为( )A.2023×2024 B.22024-1C.6-327 D.112-328二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),则以下说法正确的是( )A.f(0)=0 B.f(x)的一个周期为2C.f(2023)=1 D.f(5)=f(4)+f(3)10.双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),左、右顶点分别为A,B,O为坐标原点,如图,已知动直线l与双曲线C左、右两支分别交于P,Q两点,与其两条渐近线分别交于R,S两点,则下列命题正确的是( )A.存在直线l,使得AP∥ORB.l在运动的过程中,始终有|PR|=|SQ|C.若直线l的方程为y=kx+2,存在k,使得S△ORB取到最大值D.若直线l的方程为y=-22(x-a),RS=2SB,则双曲线C的离心率为311.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,动点P在直线CD1上运动,以下四个命题正确的是( )A.BD⊥APB.四棱锥P-ABB1A1的体积是定值C.若M为BC的中点,则A1B=2AM-AC1D.PA·PC的最小值为-1412.已知函数f(x)=a(ex+a)-x,则下列结论正确的有( )A.当a=1时,方程f(x)=0存在实数根B.当a≤0时,函数f(x)在R上单调递减C.当a>0时,函数f(x)有最小值,且最小值在x=lna处取得D.当a>0时,不等式f(x)>2lna+32恒成立非选择题部分三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若关于x的不等式ax2-2x+a≤0在区间[0,2]上有解,则实数a的取值范围是 ▲ . 14.已知{an}是递增的等比数列,且满足a3=1,a1+a3+a5=919,则a4+a6+a8= ▲ . 15.如图,若圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,且r1r2=3,则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为 ▲ . 16.设a>0,已知函数f(x)=ex-aln(ax+b)-b,若f(x)≥0恒成立,则ab的最大值为 ▲ . 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知1-cosAsinA=sin2B1+cos2B.(1)证明:cosB=a2b.(2)求ab的取值范围.18.(12分)受环境和气候影响,近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎,经初步统计,这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒,已知这三个市的人口数之比为4∶6∶10,现从这三个市中任意选取一个人.(1)求这个人感染支原体肺炎病毒的概率;(2)若此人感染支原体肺炎病毒,求他来自甲市的概率.19.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=3,2Sn=3an-3.(1)证明数列{an}为等比数列;(2)设数列{an}的前n项积为Tn,若对任意n∈N*恒成立,求整数λ的最大值.20.(12分)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,右焦点为F,已知A1F=3FA2.(1)求椭圆的离心率.(2)已知椭圆右焦点F的坐标为(1,0),P是椭圆在第一象限的任意一点,且直线A2P交y轴于点Q.若△A1PQ的面积与△A2FP的面积相等,求直线A2P的斜率.21.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,平面PAD⊥平面ABCD,平面PCD⊥平面ABCD.(1)证明:PD⊥平面ABCD.(2)若PD=AD,M是PD的中点,N在线段PC上,求平面BMN与平面ABCD夹角的余弦值的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)=xlnx-12ax2(a>0).(1)若函数f(x)在定义域内为减函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x11a.江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷参考答案1.D 【解析】法一:因为z(1+i)=1-3i,所以z=1-3i1+i=(1-3i)(1-i)(1+i)(1-i)=1-3-4i2=-1-2i,所以|z−|=|z|=5,故选D.法二:两边取模|z(1+i)|=|1-3i|,得|z|·|1+i|=|1-3i|,所以|z−|=|z|=5,故选D.2.C 【解析】解不等式1x-1<-1,即xx-1<0,所以00,得t>4,此时向量a与c的夹角为锐角.故“t>4”是“向量a与c的夹角为锐角”的充要条件,故选C.4.C 【解析】由图象知T=4×(7π12-π3)=π,故ω=2.将(7π12,-1)代入解析式,得sin(7π6+φ)=-1,所以7π6+φ=-π2+2kπ,k∈Z,又|φ|<π2,即φ=π3,所以f(x)=sin(2x+π3).故选C.5.C 【解析】抛掷两次总的基本事件有36个.当x=1时,没有满足条件的基本事件;当x=2时,y=1满足;当x=3时,y=1,2,6满足;当x=4时,y=1,2,3,5,6满足;当x=5时,y=1,2,6满足;当x=6时,y=1满足.总共有13种满足题意,所以P(A)=1336,故选C.6.B 【解析】设切点为(x0,lnx0),y'=1x,则a=1x0,ax0+b=lnx0,得b=lnx0-1,∴2a+b=2x0+lnx0-1.设f(x)=2x+lnx-1(x>0),f'(x)=-2x2+1x=x-2x2,当x∈(0,2)时,f'(x)<0,当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,∴f(x)min=f(2)=ln2,∴2a+b的最小值为ln2.7.C 【解析】因为抛物线C过点P(1,-2),所以抛物线C的方程为y2=4x,线段AB长度的最小值为通径2p=4,所以A错误;由定义知AA1=AF,AA1∥x轴,所以∠AFA1=∠AA1F=∠A1FO,同理∠BFB1=∠B1FO,所以∠A1FB1=90°,所以B错误;设直线与抛物线C交于AB:x=my+1,联立抛物线,得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1·y2=-4,kOA=y1x1=4y1=-y2,因为B1(-1,y2),所以kOB1=-y2=kOA,A,O,B1三点共线,所以C正确;设AB的中点为M(x0,y0),则y0=y1+y22=2m,x0=my0+1=2m2+1,取m=-1,M(3,-2),所以D错误.故选C.8.D 【解析】当n=1时,a1=12,由Sn+1+an+1=1,得2an+1-an=0,∴an=12n,显然{an}递减,要使得an最小,即要使得n最大,令12n≥12m+1,得2n≤2m+1.若m=1,则n≤1,b1=a1=12;若2≤m≤3,则n≤2,bm=a2=14;若4≤m≤7,则n≤3,bm=a3=18;若8≤m≤15,则n≤4,bm=a4=116;…;若1024≤m≤2047,则n≤11,bm=a11=1211.∴T1=b1=12,T3=b1+(b2+b3)=12+12=1,T7=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)=12+12+12=32,…,∴T2047=11×12=112,∴T2023=112-24211=112-328,故选D.9.ABD 【解析】f(x)是R上的奇函数,因此f(0)=0,A正确;由f(x-1)=f(x+1)得f(x)=f(x+2),所以2是它的一个周期,B正确;f(2023)=f(2×1011+1)=f(1),而f(1)=0,C错误;f(4)=f(0)=0,f(5)=f(3),因此f(5)=f(4)+f(3),D正确.故选ABD.10.BD 【解析】A选项,与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点,故A错误;B选项,易证明线段PQ与线段RS的中点重合,故B正确;C选项,当k越来越接近渐近线的斜率时,S△ORB会趋向于无穷,不可能有最大值,故C错误;D选项,联立直线l与渐近线y=bax,解得S(a22b+a,ab2b+a),联立直线l与渐近线y=-bax,解得R(a2-2b+a,ab2b-a),由题可知,RS=2SB,所以yS-yR=2(yB-yS),即3yS=yR+2yB,3ab2b+a=ab2b-a,解得b=2a,所以e=3,故D正确.故选BD.11.BCD 【解析】对于A,假设BD⊥AP,则BD⊥平面ACD1,因为AC⊂平面ACD1,所以BD⊥AC,则四边形ABCD是菱形,AB=AD,A不正确;对于B,由平行六面体ABCD-A1B1C1D1得CD1∥平面ABB1A1,所以四棱锥P-ABB1A1的底面积和高都是定值,所以体积是定值,B正确;对于C,AC1=AB+AD+AA1,AM=AB+12AD,故2AM-AC1=AB-AA1=A1B,故C正确;对于D,设PC=λD1C,PA·PC=(PC+CB+BA)·PC=(λD1C-AD-AB)·λD1C=(λA1B-AD-AB)·λA1B=(λAB-λAA1-AD-AB)·(λAB-λAA1)=λ(λ-1)|AB|2-