数学-江西省“三新”协同教研共同体2023-2024学年高二上学期12月联考

{#{QQABDQaQgggAABAAABhCQQV4CAIQkBGCAAoGwAAAoAIAABNABAA=}#}{#{QQABDQaQgggAABAAABhCQQV4CAIQkBGCAAoGwAAAoAIAABNABAA=}#}{#{QQABDQaQgggAABAAABhCQQV4CAIQkBGCAAoGwAAAoAIAABNABAA=}#}{#{QQABDQaQgggAABAAABhCQQV4CAIQkBGCAAoGwAAAoAIAABNABAA=}#}2023年“三新”协同教研共同体高二联考数学试卷参考答案1.A将直线x+y+2=0的方程转化为斜截式方程得y=-x-,323333所以直线x+y+2=0的斜率为-,倾斜角为150°.3332.C由P,A,B,C四点共面,可得,,共面,设=x+y=(2x-y,x+2y,-3x+3y)=(λ,6,-9),������������则解得2�-�=�,�=4,�+2�=6,�=1,-3�+3�=-9,�=7.3.D由|PF|=xP+=4,解得xP=,则|yP|=,故△POF的面积为|OF||yP|=.17174.A点P到直线2AA1的距离即2为AP.在平7面ABCD内,点P到直2线CD的距4离与点P到点A的距离相等,满足抛物线的定义,故选A.5.B如图,以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,因为A1F=B1F=2,AB=AA1=AD=4,2所以可得P(4,2,0),Q(0,3,5),M(4,4,2),N(4,1,5),所以=(-4,1,5),=(0,-3,3),����所以cos<,>==,即异面直线PQ与MN所成角的余弦值是.12221221����42×1821216.C分两类,第一类,只有教师夫妇两人去同一所学校有=18种,23C3A3第二类,教师夫妇两人另加一位教师去同一所学校有=18种,所以总共有36种.13C3A3{#{QQABAQaUgggAABAAARhCUQWICACQkBECCAoOxAAAMAIAQAFABAA=}#}7.D如图,延长直线EF,分别交DA,DC于M,N两点,连接D1M,D1N分别交AA1,C1C于H,G两点,过点D1,E,F的截面即为五边形D1HEFG.因为该正方体的棱长为2,点E,F分别是AB,BC的中点,所以==,==,故����1����1????��13����13S△MHE=S△FNG=△.1�1MN9�又因为△D1MN的三边长分别为,,3,所以△=,317�1MN13132�2则截面Ω的面积为(1-)△=.2717�1MN9�628.BPx0y0C+=1=b1-因为点(,)在椭圆上,则22,即(2),�0�02�0222���0�+=+2=-+.所以�02221-22�0�0�0�2�-�214442422���2����0�0≤≤ax0=0+因为,所以当时,22取得最大值,最大值为,2�0�0104422�2��22�此时R=ab(+取得最大值,最大值为ab(==2.22332�0�0212�442��)�)�2=a2+当时,22取得最小值,最小值为,2�0�010442�22���22此时R=ab(+取得最小值,最小值为ab(==1.22332�0�0212�442��)�)�2由�解得则椭圆C的标准方程为+=1.22�=22,��2�=2,�42�=2,�=1,9.BCDA选项,+++=64,A错误;1234A4A4A4A4B选项,+++==35,B正确;3333434567C选项,组C合C数C公式C,显C然正确;·D选项,左边=m·==,�!��!�!�!(�-�)!�(�-1·)!(�-�)!(�-1)!(�-�)!右边=n·==,(�-1)!�(�-1)!�!(�-1)![(�-1)-(�-1)]!(�-1)!(�-�)!(�-1)!(�-�)!即左边=右边,所以m=n(m,n∈N+,n≥2),D正确.��-1��-110.ACA选项,直线Cl恒过C定点(1,2),该定点在圆C内,所以直线l与圆C相交,A正确.B选项,直线l被圆C截得的最短弦长为8,B错误.C选项,正确.{#{QQABAQaUgggAABAAARhCUQWICACQkBECCAoOxAAAMAIAQAFABAA=}#}D选项,过点(1,2)的直线:x-2y+3=0不能被直线l的方程表示,D错误.11.BD图1对于A,如图1,连接B1D1交A1C1于点O,则B1D1⊥A1C1,连接B1M,B1N,所以B1O为△B1MN的高,且B1O=B1D1=,所以△=MN·B1O=×1×=.又BB1⊥平面A1B1C1D1,所以1112�1MN22�2222==△·BB1=,所以A错误;12�1-MNB�-�1MN�1MN对�于B,平�面BMN与3平�面BA1C1为同3一个平面,而CD1∥BA1,所以当点P在CD1上时,总有PC∥平面BA1C1,从而有PC∥平面BMN,所以B正确;对于C,因为直线DE与直线AA1成30°角,AA1∥DD1,所以直线DE与直线DD1成30°角,又因为E点在正方形A1B1C1D1(包括边界)内运动,且该正方体的棱长为2,所以E在正方形A1B1C1D1(包括边界)内的运动轨迹是以D1为圆心,以为半径的段圆弧,而M点23134在线段A1C1上运动,所以线段EM长度的最小值为-,所以C错误;2323图2对于D,如图2,因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,2所以正△A1C1D的面积△=×(2)=2.3�1�1D�423连接B1D1交A1C1于O点,显然点O是线段B1D1的中点,则点B1到平面A1C1D的距离等于点D1到平面A1C1D的距离h,在三棱锥D1-A1C1D中,由=,????1-�1�1D????-�1�1�1{#{QQABAQaUgggAABAAARhCUQWICACQkBECCAoOxAAAMAIAQAFABAA=}#}得△·h=△·DD1,即2h=2×2,解得h=,可知点Q到平面A1C1D的距离为.112323�1�1D�1�1�13�3�333在Rt△B1C1C中,点C1与斜边B1C上的点Q的距离C1Q∈[,2],所以直线C1Q与平面A1C1D所成角2θ的正弦值sinθ=∈[,],D正确.23363�1Q3312.BCD由题知l1:x1x=py+py1,l2:x2x=py+py2,联立方程组解得两直线的交点为D(,).�1+�2�1�222�对于A,点D(,)不在一条定直线上运动,A错误.�1+�2�1�222�2对于B,若直线AB过抛物线的焦点F(0,),则x1x2=-p,=·==-1,故l1⊥l2,B正确.2��1�2-��1�222�����22对于C,|AF|·|BF|=(y1+)·(y2+)=(+)·(+)=+++,|DF|=(+)+(-2222222���1��2��1�2�1�2��1�2�1�222222�22�24�4442222�)=+-+=+++,故|AF|·|BF|=|DF|,C正确.2222222222��1+2�1�2+�2�1�2�1�2��1�2�1�2�22244�244�444对于D,=�+�=,=�+�=,故=,D正确.113133|��||�-2||�1-�3||????||2-�||�1-�3||��||????|�1+�3�1+�223�2+�332|????||-||�-�||��||�3-||�-�||????||��|13.相交22214.因为G为△ABC的重心,设BC的中点为D,所以=(+),3313��3����所以-=(-+-)=+-,所以1112????????3????????????2????3????3????3????=++,||=×(4+4+9+2×2×2×+2×2×3××2)=,所以||=.1111113333��3��3��3����9229��315.48分两类:第一类,②④颜色相同有=24种;1111C4C3C2C1第二类,②④颜色不相同有=24种.共48种.11111C4C3C2C1C1{#{QQABAQaUgggAABAAARhCUQWICACQkBECCAoOxAAAMAIAQAFABAA=}#}16.线段AB的垂直平分线为x+y-4=0,联立解得AB的中点坐标为(3,1),设23�=�-2,3�+�-4=0,22A(x1,y1),B(x2,y2),则�1�1两式作差可得·=,即=×1=,所以双曲线C的离心率2222�-�=0,�1+�2�1-�2��212222�2�2�1+�2�1-�2��6322e===.�-�=0,2�42321+�3317.解:(1)当偶数不能相邻时,不同的六位数有=144个........................................................5分33A3A4(2)若数字1和2之间恰有一个奇数,没有偶数,则不同的六位数有=96个..................10分214A2C2A418.解:(1)过点P(3,3)与直线2x+3y-15=0垂直的直线m的斜率k=,32所以直线m的方程为y-3=(x-3),即3x-2y-3=0...........................................................................3分32由解得圆心C(1,0).3�-2�-3=0,所以�-半�-径1=r=0,=.2222故圆C的标准(方1-程3)为+(x-(01)-3+)y=131.3.................................................................................................6分(2)①若斜率存在,则设过点Q(3,4)的直线l的斜率为k,则直线l的方程为y-4=k(x-3),即kx-y-3k+4=0,所以圆心C(1,0)到直线l的距离d=......................................................................................8分|2�-4|2�+1又|AB|=6,r=,2123所以()+3=13,整理得4k-3=0,|2�-4|2�+1解得k=,此时直线l的方程为3x-4y+7=0..................................................................................10分34②若斜率不存在,则直线l的方程为x=3,弦心距为2,半径r=,13弦长为2=6,符合题意.22(13)-2{#{QQABAQaUgggAABAAARhCUQWICACQkBECCAoOxAAAMAIAQAFABAA=}#}图1综上,直线l的方程为3x-4y+7=0或x=3.....................................................................................12分19.(1)证明:如图1,连接BD交AC于点H,连接HE.因为AB∥DC,AB=CD,所以四边形ABCD是平行四边形,所以H是AC的中点,又E为线段PD的中点,所以HE∥PB.又HE⊂平面ACE,PB⊄平面ACE,所以PB∥平面ACE...........................................................................................................................5分图2(2)解:因为AB⊥平面PAD,所以作Ax⊥AP,建