高考数学专题八 多三角形问题(原卷版)

专题八 多三角形问题多三角形计算问题求解多个三角形问题的关键及思路求解多个三角形的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到多个三角形中，利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换公式等建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．【例题选讲】[例1]如图，在△ABC中，∠B＝eq\f(π,3)，AB＝8，点D在边BC上，且CD＝2，cos∠ADC＝eq\f(1,7)．(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．解析 (1)在△ADC中，∵cos∠ADC＝eq\f(1,7)，∴sin∠ADC＝eq\r(1－cos2∠ADC)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))2)＝eq\r(\f(48,49))＝eq\f(4\r(3),7)，则sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADC·cos∠B－cos∠ADC·sin∠B＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(1,2)－eq\f(1,7)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),14)．(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝eq\f(AB·sin∠BAD,sin∠ADB)＝eq\f(8×\f(3\r(3),14),\f(4\r(3),7))＝3．在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋CB2－2AB·BCcosB＝82＋52－2×8×5×eq\f(1,2)＝49，即AC＝7．[例2](2020·江苏)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝3，c＝eq\r(2)，B＝45°．(1)求sinC的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝－eq\f(4,5)，求tan∠DAC的值．解析 (1)在△ABC中，因为a＝3，c＝eq\r(2)，B＝45°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝9＋2－2×3×eq\r(2)cos45°＝5，所以b＝eq\r(5)．在△ABC中，由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得eq\f(\r(5),sin45°)＝eq\f(\r(2),sinC)，所以sinC＝eq\f(\r(5),5)．(2)在△ADC中，因为cos∠ADC＝－eq\f(4,5)，所以∠ADC为钝角．而∠ADC＋C＋∠CAD＝180°，所以C为锐角．故cosC＝eq\r(1－sin2C)＝eq\f(2\r(5),5)，则tanC＝eq\f(sinC,cosC)＝eq\f(1,2)．因为cos∠ADC＝－eq\f(4,5)，所以sin∠ADC＝eq\r(1－cos2∠ADC)＝eq\f(3,5)，所以tan∠ADC＝eq\f(sin∠ADC,cos∠ADC)＝－eq\f(3,4)．从而tan∠DAC＝tan(180°－∠ADC－C)＝－tan(∠ADC＋C)＝－eq\f(tan∠ADC＋tanC,1－tan∠ADC×tanC)＝－eq\f(－\f(3,4)＋\f(1,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))×\f(1,2))＝eq\f(2,11)．[例3](2018·全国Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝2eq\r(2)，求BC．解析 (1)在△ABD中，由正弦定理得eq\f(BD,sin∠A)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，即eq\f(5,sin45°)＝eq\f(2,sin∠ADB)，所以sin∠ADB＝eq\f(\r(2),5)．由题意知，∠ADB＜90°，所以cos∠ADB＝eq\r(1－sin2∠ADB)＝eq\r(1－\f(2,25))＝eq\f(\r(23),5)．(2)由题意及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝eq\f(\r(2),5)．在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2eq\r(2)×eq\f(\r(2),5)＝25，所以BC＝5．[例4]如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝eq\f(3π,4)，AB⊥AD，AB＝1．(1)若AC＝eq\r(5)，求△ABC的面积；(2)若∠ADC＝eq\f(π,6)，CD＝4，求sin∠CAD．解析 (1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，即5＝1＋BC2＋eq\r(2)BC，解得BC＝eq\r(2)，所以△ABC的面积S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC·sin∠ABC＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2)．(2)设∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得eq\f(AC,sin∠ADC)＝eq\f(CD,sin∠CAD)，即eq\f(AC,sin\f(π,6))＝eq\f(4,sinθ)，①在△ABC中，∠BAC＝eq\f(π,2)－θ，∠BCA＝π－eq\f(3π,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝θ－eq\f(π,4)，由正弦定理得eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(AB,sin∠BCA)，即eq\f(AC,sin\f(3π,4))＝eq\f(1,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))))，②①②两式相除，得eq\f(sin\f(3π,4),sin\f(π,6))＝eq\f(4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))),sinθ)，即4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinθ－\f(\r(2),2)cosθ))＝eq\r(2)sinθ，整理得sinθ＝2cosθ．又因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以sinθ＝eq\f(2\r(5),5)，即sin∠CAD＝eq\f(2\r(5),5)．[例5]如图，在△ABC中，AB＝2，cosB＝eq\f(1,3)，点D在线段BC上．(1)若∠ADC＝eq\f(3π,4)，求AD的长．(2)若BD＝2DC，△ACD的面积为eq\f(4,3)eq\r(2)，求eq\f(sin∠BAD,sin∠CAD)的值．解析 (1)在△ABC中，∵cosB＝eq\f(1,3)，∴sinB＝eq\f(2\r(2),3)．∵∠ADC＝eq\f(3π,4)，∴∠ADB＝eq\f(π,4)．在△ABD中，由正弦定理可得eq\f(AD,\f(2\r(2),3))＝eq\f(2,\f(\r(2),2))，∴AD＝eq\f(8,3)．(2)∵BD＝2DC，△ACD的面积为eq\f(4,3)eq\r(2)，∴S△ABC＝3S△ACD，则4eq\r(2)＝eq\f(1,2)×2×BC×eq\f(2\r(2),3)，∴BC＝6，DC＝2．∴由余弦定理得AC＝eq\r(4＋36－2×2×6×\f(1,3))＝4eq\r(2)．由正弦定理可得eq\f(4,sin∠BAD)＝eq\f(2,sin∠ADB)，∴sin∠BAD＝2sin∠ADB．又∵eq\f(2,sin∠CAD)＝eq\f(4\r(2),sin∠ADC)，∴sin∠CAD＝eq\f(\r(2),4)sin∠ADC．∵sin∠ADB＝sin∠ADC，∴eq\f(sin∠BAD,sin∠CAD)＝4eq\r(2)．【对点训练】1．(2013·全国Ⅰ)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝eq\r(3)，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．(1)若PB＝eq\f(1,2)，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．2．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，DC＝2．(1)如图1，若AD⊥BC，求∠BAC的大小；(2)如图2，若∠ABC＝eq\f(π,4)，求△ADC的面积．3．如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2．(1)求cos∠CBE的值；(2)求AE．4．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝DA＝2，∠ACB＝30°．(1)求证：BC＝4cos∠CBD；(2)点C移动时，判断CD是否为定长，并说明理由．5．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝eq\r(7)，EA＝2，∠ADC＝eq\f(2π,3)，且∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列．(1)求sin∠CED；(2)求BE的长．6．如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，cosB＝eq\f(\r(3),3)．(1)求△ACD的面积；(2)若BC＝2eq\r(3)，求AB的长．7．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BD＝eq\r(5)，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2．(1)求AD的长；(2)求△CBD的面积．8．已知在平面四边形ABCD中，∠ABC＝eq\f(3π,4)，AB⊥AD，AB＝1，△ABC的面积为eq\f(1,2)．(1)求sin∠CAB的值；(2)若∠ADC＝eq\f(π,6)，求CD的长．