高考数学专题02 排列数组合数的计算（解析版）

专题02排列数组合数的计算类型一、排列数组合数的简单计算例1．若，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】将展开得，化简计算即可.【详解】∵，∴，化简可得，则.故选：B例2．若，则x的值为（       ）A．4 B．6 C．4或6 D．8【答案】C【解析】【分析】根据组合数的性质可求解.【详解】,或，即或.故选：C（多选题）例3．对于关于下列排列组合数，结论正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】【分析】利用排列数、组合数公式对各选项逐一计算判断作答.【详解】对于A，由组合数的性质知，成立，A正确；对于B，，B正确；对于C，因，因此成立，C正确；对于D，因，即不成立，D不正确.故选：ABC（多选题）例4．使不等式成立的n的取值可以是（       ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】ABC【解析】【分析】根据给定条件结合组合的意义、组合数公式列式解不等式作答.【详解】在中，，在中，，即有，因，则有，即，解得，因此有，，所以n的取值可以是3或4或5.故选：ABC例5．已知，则正整数___________.【答案】6【解析】【分析】根据组合数和排列数的运算即可求得答案.【详解】由题意，，得.故答案为：6.例6．（1）已知，那么______；（2）已知，那么______；（3）已知，那么______．【答案】            【解析】【分析】利用排列数的计算公式即可求解.【详解】（1）由，则，即，解得.（2）由，则，解得.（3）由，则且，解得或（舍）.故答案为：；；例7．证明，并利用这一结果化简：(1)；(2)．【答案】(1)证明见详解，；(2).【解析】【分析】由可得，先证出式子成立，进而求出前项的和即可；根据证出式子成立，求出前项的和即可；(1)解：证明：由可得，则.所以(2)解：因为，所以.例8．求证：（1）；（2）.【答案】见详解.【解析】【分析】（1）根据排列数的计算公式展开，通过计算即可证明式子成立；（2）利用阶乘的计算公式进行展开，通分，通过计算即可证明式子成立.【详解】（1）左边右边，∴结论成立，即；（2）当时，左边右边，∴结论成立，即.例9．求下列各式中的正整数n：(1)；(2)．【答案】(1)(2)6【解析】【分析】（1）根据排列数公式列出方程即可求解；（2）根据排列数公式列出方程即可求解；(1)解：因为，所以，解得；(2)解：因为，又，所以，解得.例10．(1)若，求正整数；(2)已知，求.【答案】(1)8(2)【解析】【分析】（1）利用排列数公式可得，即求；（2）利用组合数公式可得，即求.(1)由得，，又，∴，即，∴正整数为8.(2)由得，，∴即，解得或，又，∴，∴.例11．（1）计算：；（2）计算：；（3）解方程：.【答案】（1）；（2）330；（3）15.【解析】【分析】(1)利用组合数的性质化简，再利用组合数、排列数公式计算即得；(2)利用组合数的性质依次化简计算即得；(3)利用排列数计算公式变形解方程即可得解.【详解】（1）原式；（2）原式；（3）原方程可化为，整理得，即，化简得，解得或(舍去)，所以原方程的解是.例12．（1）解不等式；（2）求证：①，②．【答案】（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析.【解析】【分析】(1)根据给定条件利用组合的意义及组合数计算公式化简不等式，再解不等式即可.(2)利用组合数计算公式变形，计算推理作答.【详解】(1)在不等式中，0≤m-1≤8，且0≤m≤8，m∈N，即有1≤m≤8，m∈N，原不等式化为：，即，解得，则m=7或8，所以不等式的解集为.(2)①，所以成立；②因，，所以成立.例13．解方程：．【答案】或【解析】【分析】利用组合数的性质计算即可.【详解】因为，所以或，解得或，经检验都符合题意，所以方程的解是或.例14．化简：．【答案】0【解析】【分析】利用组合数的性质计算即可.【详解】因为所以例15．计算下列各式的值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)5150(2)210(3)466【解析】【分析】（1）利用组合数性质可简化运算（2）利用组合数性质化简后运算（3）利用组合数公式的定义通过确定的范围并通过取整最终确定，最后利用公式可得结果(1)．(2)．(3)依题意得即解得．又，所以．故．类型二、排列数组合数公式的应用例1．从装有个不同小球的口袋中取出个小球（），共有种取法．在这种取法中，可以视作分为两类：第一类是某指定的小球未被取到，共有种取法；第二类是某指定的小球被取到，共有种取法．显然，即有等式：成立．试根据上述想法，下面式子（其中）应等于A． B． C． D．【答案】A【解析】【详解】分析：从装有个不同小球的口袋中取出个小球（），共有种取法．在这种取法中，可以视作分为两类：第一类是某指定的小球未被取到，第二类是某指定的小球被取到，即有等式：成立，题中的式子表示的是从装有个球中取出个球的不同取法数，从而得到选项.详解：在中，从第一项到最后一项分别表示：从装有个白球，个黑球的袋子里，取出个球的所有情况取法总数的和，故答案为从装有个球中取出个球的不同取法数，故选A.点睛：该题考查的是有关球的取法问题，涉及到的是有关组合数的性质，认真分析题中式子的关系，最后求得结果.例2．A． B．C． D．【答案】D【解析】【详解】∵,∴原式=.故选D.（多选题）例3．下列等式正确的有（       ）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】【分析】对选项A，利用排列数公式计算推证；对选项B，利用组合数公式计算判断；对选项C，利用组合数性质逐次计算判断；对选项D，利用二项式系数的性质计算判断.【详解】对于选项A：，选项A正确；对于选项B：，选项B错误；对于选项C：，选项C正确；对于D选项：因二项式的展开式的所有奇数项系数和与所有偶数项系数和相等，都等于，n=2020时，选项D正确.故选：ACD【点睛】二项式的展开式的系数的性质：(1)；(2).（多选题）例4．满足不等式的的值为（       ）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】BC【解析】【分析】根据排列数公式化简后解一元二次不等式即可.【详解】,,,原不等式可化为，,解得,,即或，故选：BC例5．_____________【答案】220【解析】【详解】，故答案为.例6．当时，有如下表达式：两边同时积分得：从而得到如下等式：请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：___________【答案】【解析】【详解】法一：注意到信息中的积分算法，所以逆写可得法二：考虑组合恒等式故直接可得【考点定位】此题的立意在类比应用，巧妙的逆向构造考查了学生应用信息的能力．难度比较大．不过如果参加竞赛或者熟悉恒等式也就比较容易了．例7．设，，.（1）求证：①；②（其中）；（2）化简：.【答案】（1）①证明见详解；②证明见详解；（2）【解析】【分析】（1）①证明即可，根据组合数定义化简求值；②证明即可，同样根据组合数定义化简求值.（2）根据二项式定理，可得，两边同乘以求导，再同乘以再次求导，令即可求解.【详解】（1）①，所以，即.②，所以，即（其中）；（2）当时，由二项式定理，有，两边同乘以，得，两边对求导，得，两边再同乘以，得，两边再对求导，得令，得，即，即.例8．设，，其中．（1）当时，求的值；（2）对，证明：恒为定值．【答案】（1）1（2）1【解析】【详解】分析：（1）当时可得，可得.（2）先得到关系式，累乘可得，从而可得，即为定值．详解：（1）当时，，又，所以.   （2）即，由累乘可得，又，所以．即恒为定值1．点睛：本题考查组合数的有关运算，解题时要注意所给出的的定义，并结合组合数公式求解．由于运算量较大，解题时要注意运算的准确性，避免出现错误．例9．设，，且，其中当为偶数时，；当为奇数时，．（1）证明：当，时，；（2）记，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）要证明，分别求出，，，问题得以解决．（2）由，又由，得，求出答案．【详解】解：（1）当为奇数时，为偶数，为偶数，，，，当为奇数时，成立．同理可证，当偶数时，也成立．（2）由，得，，，又由，得．，．【点睛】本题要培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．例10．是否存在等差数列，使对任意都成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由.【答案】存在，.【解析】【分析】假设存在等差数列，满足题意，通过对整理，找出，，即可说明存在数列，求出数列的通项公式即可．【详解】证明：假设存在等差数列满足要求依题意，对恒成立，，，所求的等差数列存在，其通项公式为．【点睛】本题考查数列的存在性问题，数列求和，数列的应用，以及二项式定理的应用，是难度较大题目．例11．规定，其中，是正整数，且，这是组合数（、是正整数，且）的一种推广.（1）求的值；（2）设，当为何值时，取得最小值？（3）组合数的两个性质：①.②.是否都能推广到（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.【答案】（1）；（2）当时，取得最小值（3）性质①不能推广，详见解析；性质②能推广，它的推广形式为（，是正整数），证明见解析；【解析】【分析】（1）由题意可得，运算求得结果．（2）根据，再利用二次函数的性质求得式子的最小值．（3）性质①不能推广，通过举反例可知．性质②能推广，它的推广形式是，，是正整数．根据题中的规定化简运算可以证得．【详解】（1）由题意可得．（2），，故当，即时，取得最小值。（3）性质①不能推广，例如当时，有定义，但无意义；性质②能推广，它的推广形式是，，是正整数，事实上，当时，有．当时．【点睛】本题主要考查组合数的性质、二项式系数的性质，这是一道综合性较强的题目，对学生的逻辑思维能力、推理论证能力以及计算能力，均有较好的考查．例12．（1）证明：；（2）计算：；（3）计算：.【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用组合数的运算即可求证.（2）利用组合数的运算与性质即可证出.（3）方法一：设，可得，再利用组合数的运算性质即可求解；方法二：，根据组合数的运算即可求解.【详解】解：（1）；（2）.（3）设，则.所以，又，所以.所以.（结果没化简，不扣分）方法二：.【点睛】本题考查了组合数的运算与性质，掌握组合数的运算性质是解题的关键，属于难题.例13．证明下列恒等式；（1）；（2）.【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】【分析】（1）当时，利用化简和式的通项后再利用二项式系数的性质可证等式成立.（2）把变形为，从而，再利用二项式系数的性质可以得到，最后利用累加法可求.【详解】（1）当时，，故.当时，，，此时成立，故对都成立.（2）先证当时，记，所以，当时，又，所以，所以，又，所以.【点睛】二项式系数有对称性、单调性和递推性质，特别最后一个性质，它有两种形式：（1），（2），当所考虑的和式的通项具有项的系数与组合数的上标一致或通项的组合数上下标均变化时可用这两个性质.例14．设，．（1）求的值；（2）化简．【答案】（1）0；（2）0【解析】【分析】（1）利用条件求得，，问题得解．（2）整理得，，利用组合数公式将整理为：，两式相加即可得解．【详解】（1）由，，所以．（2）设，则                 ①     因为，所以               ②①+②得，，即，所以．【点睛】本题主要考查了求和的记法，还考查了化简能力及计算能力，考查了组合数公式，考查转化能力，属于难题．例15．（1）求(,且)的值．（2）设(),求方程的所有解．【答案】(1)1；(2)是方程的唯一解．【解析】【分析】对组合数进行变换即可；对组合数进行变换，将原方程转为二项式定理即可.【详解】（1）因为,而,(,且)．所以．（2）由（1）知对,且成立．所以,所以()．又因为,即对成立,所以是关于()的递增函数．又因为,所以即是方程的唯一解例16．设，，.（1）求值：①；②（）；（2）化简：.【答案】（Ⅰ）①0，②,0，（Ⅱ）【解析】【详解】