高考数学专题14 分配问题（解析版）

专题14分配问题例1．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奧会，某学校决定派小明和小李等共5名志愿者将两个吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（       ）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【解析】【分析】先安排小明和小李，然后剩余3人分两组，一组1人，一组2人，先分组后安排即可．【详解】解：小明和小李必须安装不同的吉祥物，则有种情况，剩余3人分两组，一组1人，一组2人，有，然后分配到参与两个吉祥物的安装，有，则共有种，故选：C．例2．2021年秋季学期，某校新进甲、乙、丙、丁4名教师，按要求分配到高二年级和高一年级任教，每个年级至少一人，则甲、乙在同一年级的分配方案共有（       ）A．24种 B．12种 C．9种 D．6种【答案】D【解析】【分析】根据甲、乙在同一年级，将甲、乙捆绑，4个人看成3个元素，再把这3个元素分成2堆分配求解.【详解】把甲、乙两人看作一个整体，4个人看成3个元素，再把这3个元素分成2堆，每堆至少有1个人，然后分配到2个年级，共有种分配方案，故选：D．例3．某大学计算机学院的丁教授在2021年人工智能方向招收了6名研究生．丁教授拟从人工智能领域的语音识别、人脸识别、数据分析、机器学习、服务器开发共5个方向展开研究，每个方向均有研究生学习，每位研究生只参与一个方向的学习．其中小明同学因录取分数最高主动选择学习人脸识别，其余5名研究生均表示服从丁教授统一安排．则这6名研究生不同的分配方向共有（       ）A．480种 B．360种 C．240种 D．120种【答案】B【解析】【分析】分人脸识别不安排或安排研究生两种情况，应用组合、排列数求总分配方式即可.【详解】1、人脸识别方向不安排其它研究生，则种.2、人脸识别方向安排1名其它研究生，则种.综上，共有360种分配.故选：B例4．某医院分配3名医生6名护士紧急前往三个小区协助社区做核酸检测.要求每个小区至少一名医生和至少一名护士.问共有多少种分配方案？（       ）A．3180 B．3240 C．3600 D．3660【答案】B【解析】【分析】分三种情况进行分类讨论，依据先分组再分配原则解决“至少”问题.【详解】每个小区至少一名护士，则把护士分为3组，共有3种情况：1,1,4；1,2,3；2,2,2把护士分为3组，3组人数分别为1,1,4，共有种分法，再分配给3个小区，有种分法.每个小区1名医生有种分法，则分配方案数为；把护士分为3组，3组人数分别为1,2,3，共有种分法，再分配给3个小区，有种分法.每个小区1名医生有种分法，则分配方案数为；把护士分为3组，3组人数分别为2,2,2，共有种分法，再分配给3个小区，有种分法.每个小区1名医生有种分法，则分配方案数为综上，分配方案总数为故选：B例5．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（       ）A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法；B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法；C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法；D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；【答案】D【解析】【分析】根据题意，分别按照选项说法列式计算验证即可做出判断.【详解】选项A，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有种分配方法，故该选项错误；选项B，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，先将6本书分成4-1-1的3组，再将三组分给甲乙丙三人，有种分配方法，故该选项错误；选项C，6本不同的书分给甲乙每人各2本，有种方法，其余分给丙丁每人各1本，有种方法，所以不同的分配方法有种，故该选项错误；选项D，先将6本书分为2-2-1-1的4组，再将4组分给甲乙丙丁4人，有种方法，故该选项正确.故选：D.例6．2021年10月我市组织全体在校高中生集中观看电影《冰雪长津湖》，某电影院为了做好防疫工作组织了5个服务管理小组，分配到3个影厅进行服务和管理，若每个影厅至少分配1个服务管理小组，每个服务管理小组只能在1个影厅进行服务和管理，则不同的分配方法种数为（       ）A．125 B．150 C．240 D．300【答案】B【解析】【分析】3个影厅的小组的数目为：2,2,1或1,1,3，据此分类计算后可得分配方法的总数.【详解】5个服务管理小组，分配到3个影厅进行服务和管理，3个影厅的小组的数目为：2,2,1或1,1,3.若3个影厅的小组的数目为2,2,1，则不同的分配方法种数为；若3个影厅的小组的数目为1,1,3，则不同的分配方法种数为；故不同的分配方法总数为150，故选：B.例7．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（       ）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【解析】【分析】先将剩余三人分为两组，再分配小李、小明即可得解.【详解】由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组.先将小李、小明之外的三人分为两组，有种分法，再将小李、小明分进两组，有种分法，再将两组分配安装两个吉祥物，有种分法，所以共计有种，故选：C.例8．2021年4月22日是第52个世界地球日，某学校开展了主题为“珍爱地球，人与自然和谐共生”的活动.该校5名学生到，，三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区宣传，则不同的安排方案共有（       ）A．60种 B．90种 C．150种 D．300种【答案】C【解析】【分析】把5人按113或122分成三组然后安排到三个社区即可得．【详解】由题意不同的安排方案数为．故选：C．例9．国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为（       ）A．65 B．125 C．780 D．1560【答案】D【解析】【分析】6个人先分成4组，再进行排列，最后用乘法原理得解.【详解】6人分成4组有两种方案：“”、“”共有种方法，4组分配到4个大门有种方法；根据乘法原理不同的分配方法数为：.故选:D.例10．当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂．某地区安排A，B，C，D，E五名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，且A，B两人安排在同一个地区，C，D两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（       ）A．30种 B．36种 C．42种 D．64种【答案】A【解析】【分析】由题意可得，分两个地区各分2人，另一个地区分1人和两个地区各分1人，另一个地区分3人两种情况，对两种情况的种数求和，即可求解．【详解】解：①当两个地区各分2人，另一个地区分1人时，总数有种；②当两个地区各分1人，另一个地区分3人时，总数有种．故满足条件的分法共有种．故选：A例11．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球3个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（       ）A．60种 B．150种 C．120种 D．240种【答案】B【解析】【分析】先将5人分成三组，再分步计算方案数量.【详解】将5人分成3组有两种情况：一、3人一组，其他2人各一组，种，二、有2组各两人，剩余1组一人，种，综上所述，共种，故选：B.例12．为了落实五育并举，全面发展学生素质，学校准备组建书法､音乐､美术､体育社团，现将5名同学分配到这4个社团进行培训，每名同学只分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案共有（       ）A．60种 B．120种 C．240种 D．480种【答案】C【解析】【分析】由题意可知，本题属于部分平均分配问题，可以将问题拆分为两步完成，先分组再分配，即可完成求解.【详解】由题意，分步完成，第一步，将5名同学按1，1，1，2分成4组，有种分组方法；第二步，将分成4组的学生安置在4个社团，有种方法，由分步乘法计数原理得，共有：不同的分配方案，故选：C.例13．某高三年级在安排自习辅导时，将6位不同学科的老师分配到5个不同班级进行学科辅导，每个班级至少一位老师，则所有不同的分配方案的种数为（       ）A．3600 B．1800 C．720 D．600【答案】B【解析】【分析】应用分步计数法，结合排列组合数求不同的分配方案的种数.【详解】依题意，其中有一个班级有两位老师辅导，则．故选：B.例14．在2021年日本东京奥运会志愿者活动中，甲、乙等6人报名参加了三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加项目，乙不能参加项目，那么不同的志愿者分配方案共有（       ）A．52种 B．68种 C．72种 D．108种【答案】A【解析】【分析】按甲、乙是否参加参加志愿者活动分类讨论．【详解】甲最多只能参加项目，乙最多只能参加项目，按着甲乙两人只有一人，两人都参加和都不参加分类，由此可得方案数为．故选：A．例15．学校分配甲、乙、丙三人到7个不同的社区参加社会实践活动，每个社区最多分配2人，则有_________种不同的分配方案（用数字作答）.【答案】336【解析】【分析】根据题意，分这七个社区恰有三个社区各有一人参与社会实践活动和这七个社区的某个社区有两个人参与社会实践，另一个社区有一个人参与社会实践两类情况讨论求解即可.【详解】解：分两种情况讨论，当这七个社区恰有三个社区各有一人参与社会实践活动，则相应的分配方案有种；当这七个社区的某个社区有两个人参与社会实践，另一个社区有一个人参与社会实践，则相应的分配方案有种.所以根据分类加法原理得，共有种.故答案为：例16．为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将2名医生和6名护士分配到2所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和3名护士，则不同的分配方法共有______种.【答案】40【解析】【分析】任选1名医生和3名护士，将医护人员分成两组安排到2所学校即可.【详解】1、选1名医生和3名护士的方法数为种；2、由第一步得到两组医护人员，将其安排到2所学校的方法数为种.所以不同的分配方法共有种.故答案为：40例17．自年月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性，各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有名医生，现要求这名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有_________种.（用数字作答）【答案】【解析】【分析】先将名医生分为组，各组的人数分别为、、，再将组医生分配给个不同的住户，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】先将名医生分为组，各组的人数分别为、、，再将组医生分配给个不同的住户，由分步乘法计数原理可知，不同的分配方案种数为.故答案为：.例18．将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）【答案】36【解析】【分析】先将4人分成2、1、1三组，再安排给3个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得.【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1