高考数学微专题19 圆锥曲线经典难题之一类定点、定值问题的通性通法研究（原卷版）

微专题19圆锥曲线经典难题之一类定点、定值问题的通性通法研究秒杀总结1.直线与圆锥曲线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；④根据直线过定点的求解方法可求得结果.2.定比点差法3.非对称韦达与对称韦达4.先猜后证5.硬解坐标典型例题例1．（2022·江西赣州·一模（文））已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，满足，且面积的最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)点，点A，B在椭圆上，点N在直线：，满足，，试问是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.例2．（2022·北京·一模）已知椭圆的下顶点和右顶点都在直线上.(1)求椭圆方程及其离心率；(2)不经过点的直线交椭圆于两点，过点作轴的垂线交于点，点关于点的对称点为.若三点共线，求证：直线经过定点.例3．（2022·江西九江·二模）已知椭圆的离心率为，P为椭圆E上一点，Q为圆上一点，的最大值为3（P，Q异于椭圆E的上下顶点）.(1)求椭圆E的方程；(2)A为椭圆E的下顶点，直线AP，AQ的斜率分别记为，，且，求证：直线PQ过定点，并求出此定点的坐标.例4．（2022·全国·模拟预测（文））已知双曲线（，）的左、右顶点分别为、，离心率为2，过点斜率不为0的直线l与交于P、Q两点．(1)求双曲线的渐近线方程；(2)记直线、的斜率分别为、，求证：为定值．例5．（2022·陕西咸阳·二模（理））已知抛物线C：（），过焦点F作x轴的垂线与抛物线C相交于M､N两点，S△MON=2.(1)求抛物线C的标准方程；(2)点A是抛物线C上异于点O的一点，连接AO交抛物线的准线于点D，过点D作x轴的平行线交抛物线于点B，求证：直线AB恒过定点.例6．（2022·广西柳州·三模（理））已知点，点，点M与y轴的距离记为d，且点M满足：，记点M的轨迹为曲线W．(1)求曲线W的方程；(2)设点P为x轴上除原点O外的一点，过点P作直线，，交曲线W于点C，D，交曲线W于点E，F，G，H分别为CD，EF的中点，过点P作x轴的垂线交GH于点N，设CD，EF，ON的斜率分别为，，的，求证：为定值．例7．（2022·山西太原·一模（文））已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，一条直线过定点与抛物线相交于、两点，且.(1)求抛物线方程；(2)连接，并延长交抛物线于、两点，求证：直线过定点.过关测试1．（2022·陕西陕西·一模（理））已知抛物线，过点作两条互相垂直的直线，设分别与抛物线相交于及两点，当点的横坐标为时，抛物线在点处的切线斜率为.(1)求抛物线的方程；(2)设线段的中点分别为，为坐标原点，求证直线过定点.2．（2022·辽宁抚顺·一模）已知椭圆，若下列四点_________中恰有三点在椭圆C上.①；②.(1)从①②中任选一个条件补充在上面的问题中，并求出椭圆C的标准方程；(2)在（1）的条件下，设直线l不经过点且与椭圆C相交于A，B两点，直线与直线的斜率之和为1，过坐标原点O作，垂足为D（若直线l过原点O，则垂足D视作与原点O重合），证明：存在定点Q，使得为定值.3．（2022·安徽安庆·二模（文））已知椭圆：的长轴长是短轴长的两倍，且过点.(1)求椭圆的方程.(2)设椭圆的下顶点为点，若不过点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，直线，分别与轴交于，两点.若，的横坐标之积是2，证明：直线过定点.4．（2022·北京石景山·一模）已知椭圆C：的短轴长等于，离心率．(1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点作斜率为的直线，与椭圆交于A，B两点，线段的垂直平分线交轴于点，判断是否为定值，请说明理由．5．（2022·福建漳州·二模）已知椭圆的长轴长为，且过点(1)求的方程：(2)设直线交轴于点，交C于不同两点，，点与关于原点对称，，为垂足.问：是否存在定点，使得为定值？6．（2022·陕西西安·二模（文））已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切.(1)求动圆的圆心轨迹的方程；(2)过焦点的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点（，在轴同侧），求证：是定值.7．（2022·全国·模拟预测（理））如图所示，已知抛物线E：，其焦点与准线的距离为6，过点作直线，与E相交，其中与E交于A，B两点，与E交于C，D两点，直线AD过E的焦点F，若AD，BC的斜率为，．(1)求抛物线E的方程；(2)问是否为定值？如是，请求出此定值；如不是，请说明理由．8．（2022·全国·东北师大附中模拟预测（理））已知圆过点，且与直线相切.(1)求圆心的轨迹的方程；(2)过点作直线交轨迹于、两点，点关于轴的对称点为，过点作，垂足为，在平面内是否存在定点，使得为定值.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.9．（2022·山东济宁·一模）已知椭圆，A､B分别为椭圆C的右顶点､上顶点，F为椭圆C的右焦点，椭圆C的离心率为，的面积为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P为椭圆C上的动点（不是顶点），点P与点M，N分别关于原点､y轴对称，连接MN与x轴交于点E，并延长PE交椭圆C于点Q，则直线MP的斜率与直线MQ的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.10．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知双曲线的离心率是，实轴长是8.(1)求双曲线C的方程；(2)过点的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值.11．（2022·四川凉山·二模（文））如图，为椭圆上的三点，为椭圆的上顶点，与关于轴对称，椭圆的左焦点，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆的右焦点且与轴不重合的直线交椭圆于两点，为椭圆的右顶点，连接分别交直线于两点.试判断的交点是否为定点？若是，请求出该定点；若不是，请说明理由.12．（2022·湖北·一模）设椭圆C：（）的左､右顶点分别为A，B，上顶点为D，点P是椭圆C上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率，短轴长为2.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线AD与直线BP交于点M，直线DP与x轴交于点N，求证：直线MN恒过某定点，并求出该定点.13．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）已知双曲线C：的渐近线方程为，过双曲线C的右焦点的直线与双曲线C分别交于左、右两支上的A、B两点．(1)求双曲线C的方程；(2)过原点O作直线，使得，且与双曲线C分别交于左、右两支上的点M、N．是否存在定值，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．14．（2022·四川·石室中学二模（文））已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆C过点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)点A，B是椭圆C上异于点P的两个不同的点，直线PA与PB的斜率均存在，分别记为，且，求证：直线AB过定点．15．（2022·贵州黔东南·一模（理））已知直线与曲线的两个公共点之间的距离为．(1)求C的方程．(2)设P为C的准线上一点，过P作C的两条切线，切点为A，B，直线的斜率分别为，，且直线与y轴分别交于M，N两点，直线的斜率为．证明：为定值，且成等差数列．16．（2022·河南开封·二模（文））已知抛物线C：的焦点为F，为C上一点，直线l交C于M，N两点（与点S不重合）.(1)若l过点F且倾斜角为60°，（M在第一象限），求C的方程；(2)若，直线SM，SN分别与y轴交于A，B两点，且，判断直线l是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，请说明理由.17．（2022·山东烟台·一模）已知椭圆C：的离心率为，依次连接C四个顶点所得菱形的面积为4．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若A（－2，0），直线l：与C交于两点，且AP⊥AQ，试判断直线l是否过定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，说明理由．18．（2022·宁夏六盘山高级中学一模（理））已知点在抛物线上.(1)求抛物线E的方程；(2)直线都过点的斜率之积为，且分别与抛物线E相交于点A，C和点B，D，设M是的中点，N是的中点，求证：直线恒过定点.19．（2022·四川师范大学附属中学二模（文））已知一动圆Q与圆M：外切，同时与圆N：内切，圆心Q的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过曲线C上点P作该曲线的一条切线l与直线相交于点A，与直线相交于点B，证明PN⊥NB并判断是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．20．（2022·内蒙古赤峰·三模（文））已知抛物线的准线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，点其中在抛物线上，且直线交轴于，直线交轴于.(1)求直线斜率的取值范围；(2)设为原点，若，求证：为定值.21．（2022·湖北·一模）已知椭圆C：=1（a>b>0）经过点A（0，1），且右焦点为F（1，0）.(1)求C的标准方程；(2)过点（0，）的直线与椭圆C交于两个不同的点P.Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.证明：以MN为直径的圆过y轴上的定点.