高考数学微专题19 圆锥曲线经典难题之一类定点、定值问题的通性通法研究(原卷版)

2023-11-18 · 9页 · 453.2 K

微专题19圆锥曲线经典难题之一类定点、定值问题的通性通法研究秒杀总结1.直线与圆锥曲线综合应用中的直线过定点问题的求解,求解此类问题的基本思路如下:①假设直线方程,与抛物线方程联立,整理为关于或的一元二次方程的形式;②利用求得变量的取值范围,得到韦达定理的形式;③利用韦达定理表示出已知中的等量关系,代入韦达定理可整理得到变量间的关系,从而化简直线方程;④根据直线过定点的求解方法可求得结果.2.定比点差法3.非对称韦达与对称韦达4.先猜后证5.硬解坐标典型例题例1.(2022·江西赣州·一模(文))已知椭圆:的左、右焦点分别为,,点在椭圆上,满足,且面积的最大值为.(1)求椭圆的方程;(2)点,点A,B在椭圆上,点N在直线:,满足,,试问是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.例2.(2022·北京·一模)已知椭圆的下顶点和右顶点都在直线上.(1)求椭圆方程及其离心率;(2)不经过点的直线交椭圆于两点,过点作轴的垂线交于点,点关于点的对称点为.若三点共线,求证:直线经过定点.例3.(2022·江西九江·二模)已知椭圆的离心率为,P为椭圆E上一点,Q为圆上一点,的最大值为3(P,Q异于椭圆E的上下顶点).(1)求椭圆E的方程;(2)A为椭圆E的下顶点,直线AP,AQ的斜率分别记为,,且,求证:直线PQ过定点,并求出此定点的坐标.例4.(2022·全国·模拟预测(文))已知双曲线(,)的左、右顶点分别为、,离心率为2,过点斜率不为0的直线l与交于P、Q两点.(1)求双曲线的渐近线方程;(2)记直线、的斜率分别为、,求证:为定值.例5.(2022·陕西咸阳·二模(理))已知抛物线C:(),过焦点F作x轴的垂线与抛物线C相交于M、N两点,S△MON=2.(1)求抛物线C的标准方程;(2)点A是抛物线C上异于点O的一点,连接AO交抛物线的准线于点D,过点D作x轴的平行线交抛物线于点B,求证:直线AB恒过定点.例6.(2022·广西柳州·三模(理))已知点,点,点M与y轴的距离记为d,且点M满足:,记点M的轨迹为曲线W.(1)求曲线W的方程;(2)设点P为x轴上除原点O外的一点,过点P作直线,,交曲线W于点C,D,交曲线W于点E,F,G,H分别为CD,EF的中点,过点P作x轴的垂线交GH于点N,设CD,EF,ON的斜率分别为,,的,求证:为定值.例7.(2022·山西太原·一模(文))已知抛物线的焦点为,点为坐标原点,一条直线过定点与抛物线相交于、两点,且.(1)求抛物线方程;(2)连接,并延长交抛物线于、两点,求证:直线过定点.过关测试1.(2022·陕西陕西·一模(理))已知抛物线,过点作两条互相垂直的直线,设分别与抛物线相交于及两点,当点的横坐标为时,抛物线在点处的切线斜率为.(1)求抛物线的方程;(2)设线段的中点分别为,为坐标原点,求证直线过定点.2.(2022·辽宁抚顺·一模)已知椭圆,若下列四点_________中恰有三点在椭圆C上.①;②.(1)从①②中任选一个条件补充在上面的问题中,并求出椭圆C的标准方程;(2)在(1)的条件下,设直线l不经过点且与椭圆C相交于A,B两点,直线与直线的斜率之和为1,过坐标原点O作,垂足为D(若直线l过原点O,则垂足D视作与原点O重合),证明:存在定点Q,使得为定值.3.(2022·安徽安庆·二模(文))已知椭圆:的长轴长是短轴长的两倍,且过点.(1)求椭圆的方程.(2)设椭圆的下顶点为点,若不过点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于,两点,直线,分别与轴交于,两点.若,的横坐标之积是2,证明:直线过定点.4.(2022·北京石景山·一模)已知椭圆C:的短轴长等于,离心率.(1)求椭圆的标准方程;(2)过右焦点作斜率为的直线,与椭圆交于A,B两点,线段的垂直平分线交轴于点,判断是否为定值,请说明理由.5.(2022·福建漳州·二模)已知椭圆的长轴长为,且过点(1)求的方程:(2)设直线交轴于点,交C于不同两点,,点与关于原点对称,,为垂足.问:是否存在定点,使得为定值?6.(2022·陕西西安·二模(文))已知定点,定直线,动圆过点,且与直线相切.(1)求动圆的圆心轨迹的方程;(2)过焦点的直线与抛物线交于两点,与圆交于两点(,在轴同侧),求证:是定值.7.(2022·全国·模拟预测(理))如图所示,已知抛物线E:,其焦点与准线的距离为6,过点作直线,与E相交,其中与E交于A,B两点,与E交于C,D两点,直线AD过E的焦点F,若AD,BC的斜率为,.(1)求抛物线E的方程;(2)问是否为定值?如是,请求出此定值;如不是,请说明理由.8.(2022·全国·东北师大附中模拟预测(理))已知圆过点,且与直线相切.(1)求圆心的轨迹的方程;(2)过点作直线交轨迹于、两点,点关于轴的对称点为,过点作,垂足为,在平面内是否存在定点,使得为定值.若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.9.(2022·山东济宁·一模)已知椭圆,A、B分别为椭圆C的右顶点、上顶点,F为椭圆C的右焦点,椭圆C的离心率为,的面积为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)点P为椭圆C上的动点(不是顶点),点P与点M,N分别关于原点、y轴对称,连接MN与x轴交于点E,并延长PE交椭圆C于点Q,则直线MP的斜率与直线MQ的斜率之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.10.(2022·广东肇庆·模拟预测)已知双曲线的离心率是,实轴长是8.(1)求双曲线C的方程;(2)过点的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B,若直线l上存在不同于点P的点D满足成立,证明:点D的纵坐标为定值,并求出该定值.11.(2022·四川凉山·二模(文))如图,为椭圆上的三点,为椭圆的上顶点,与关于轴对称,椭圆的左焦点,且.(1)求椭圆的标准方程;(2)过椭圆的右焦点且与轴不重合的直线交椭圆于两点,为椭圆的右顶点,连接分别交直线于两点.试判断的交点是否为定点?若是,请求出该定点;若不是,请说明理由.12.(2022·湖北·一模)设椭圆C:()的左、右顶点分别为A,B,上顶点为D,点P是椭圆C上异于顶点的动点,已知椭圆的离心率,短轴长为2.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线AD与直线BP交于点M,直线DP与x轴交于点N,求证:直线MN恒过某定点,并求出该定点.13.(2022·山东·潍坊一中模拟预测)已知双曲线C:的渐近线方程为,过双曲线C的右焦点的直线与双曲线C分别交于左、右两支上的A、B两点.(1)求双曲线C的方程;(2)过原点O作直线,使得,且与双曲线C分别交于左、右两支上的点M、N.是否存在定值,使得?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.14.(2022·四川·石室中学二模(文))已知椭圆的长轴为双曲线的实轴,且椭圆C过点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)点A,B是椭圆C上异于点P的两个不同的点,直线PA与PB的斜率均存在,分别记为,且,求证:直线AB过定点.15.(2022·贵州黔东南·一模(理))已知直线与曲线的两个公共点之间的距离为.(1)求C的方程.(2)设P为C的准线上一点,过P作C的两条切线,切点为A,B,直线的斜率分别为,,且直线与y轴分别交于M,N两点,直线的斜率为.证明:为定值,且成等差数列.16.(2022·河南开封·二模(文))已知抛物线C:的焦点为F,为C上一点,直线l交C于M,N两点(与点S不重合).(1)若l过点F且倾斜角为60°,(M在第一象限),求C的方程;(2)若,直线SM,SN分别与y轴交于A,B两点,且,判断直线l是否恒过定点?若是,求出该定点;若否,请说明理由.17.(2022·山东烟台·一模)已知椭圆C:的离心率为,依次连接C四个顶点所得菱形的面积为4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若A(-2,0),直线l:与C交于两点,且AP⊥AQ,试判断直线l是否过定点?若是,求出此定点的坐标;若不是,说明理由.18.(2022·宁夏六盘山高级中学一模(理))已知点在抛物线上.(1)求抛物线E的方程;(2)直线都过点的斜率之积为,且分别与抛物线E相交于点A,C和点B,D,设M是的中点,N是的中点,求证:直线恒过定点.19.(2022·四川师范大学附属中学二模(文))已知一动圆Q与圆M:外切,同时与圆N:内切,圆心Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过曲线C上点P作该曲线的一条切线l与直线相交于点A,与直线相交于点B,证明PN⊥NB并判断是否为定值?若是,求出该值;若不是,请说明理由.20.(2022·内蒙古赤峰·三模(文))已知抛物线的准线经过点,过点的直线与抛物线有两个不同的交点,点其中在抛物线上,且直线交轴于,直线交轴于.(1)求直线斜率的取值范围;(2)设为原点,若,求证:为定值.21.(2022·湖北·一模)已知椭圆C:=1(a>b>0)经过点A(0,1),且右焦点为F(1,0).(1)求C的标准方程;(2)过点(0,)的直线与椭圆C交于两个不同的点P.Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N.证明:以MN为直径的圆过y轴上的定点.

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