2024届西藏自治区拉萨市高三上学期第一次模拟考试文科数学试题

绝密★启用前拉萨市2024届高三第一次模拟考试数学文科注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，，则（）A. B. C. D.2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.双曲线的焦点坐标为（）A.， B.，C.， D.，4.的值为（）A.0 B. C. D.5.将函数（）的图象向左平移个单位长度，得到偶函数的图象，则（）A. B. C. D.6.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.7.已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，为坐标原点，则（）A. B. C.4 D.58.四面体中，在各棱中点的连线中任取1条，则该条直线与平面相交的概率是（）A. B. C. D.9.若变量，满足约束条件则的最小值为（）A. B. C. D.10.若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆雉的侧面积为（）A. B. C. D.11.已知函数，当时，恒有，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.12.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子・离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量、画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，首先用矩测量其直径，如左图，矩的较长边为，较短边为，然后将这个圆形木板截出一块四边形木板，该四边形的顶点都在圆周上，如右图，若，，则（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，向量，.若，则______.14.已知正数，满足，则的最小值为______.15.如果两个球的表面积之比为4:9，那么两个球的体积之比为______.16.函数是奇函数，则实数______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）已知等比数列的公比，且.（1）求的通项公式；（2）若为等差数列，且，，求的前项利.18.（12分）如图，正方体的棱长为2.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.19.（12分）果切是一种新型水果售卖方式，商家通过对整果进行清洗、去皮、去核、冷藏等操作后，包装组合销售，在“健康消费”与“瘦身热潮”的驱动下，果切更能满足消费者的即食需求.（1）统计得到10名中国果切消费者每周购买果切的次数依次为：1，7，4，7，4，6，6，3，7，5，求这10个数据的平均数与方差；（2）统计600名中国果切消费者的年龄，他们的年龄均在5岁到55岁之间，按照，，，，分组，得到如下频率分布直方图.（ⅰ）估计这600名中国果切消费者中年龄不小于35岁的人数；（ⅱ）估计这600名中国果切消费者年龄的中位数（结果保留整数）.20.（12分）设椭圆：（）的上顶点为，左焦点为.且，在直线上.（1）求的标准方程；（2）若直线与交于，两点，且点为中点，求直线的方程.21.（12分）已知函数.（1）证明：，有；（2）设（），讨论的单调性.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的直角坐标方程以及曲线的普通方程；（2）过直线上一点作曲线的切线，切点为，求的最小值.23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数.（1）求不等式的解集；（2）证明：，，使得.拉萨市2024届高三第一次模拟考试数学文科参考答案及评分细则1.【答案】A【解析】因为，，所以，因为，所以，故选A.2.【答案】B【解析】，则在复平頁内对应的点为，位于第二象限，故选B.3.[答案]C【解析】因为，，所以，得，所以焦点坐标为和，故选C.4.【答案】D【解析】，故选D.5.【答案】A【解析】将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，因为为偶函数，且，所以，得，故选A.6.【答案】A【解析】因为，又函数的定义域为，故为奇函数，排除CD；根据指数函数的性质，在上单调递增，当时，，故，则，排除B，故选A.7.【答案】B【解析】设，由得，又，得，所以，，故选B.8.【答案】D【解析】设各棱中点依次为，，，，，确定的直线有15条：，，，，，，，，，，，，，，，其中在3条与平面平行，3条在平面内，所以与平面相交的有9条，故所求概率.故选D.9.【答案】C【解析】根据约束条件画出如图所示的可行区域，再利用几何意义知表示点与点连线的斜率，易知直线的斜率最小，由得，所以，故选C.10.【答案】B【解析】由题意可得该圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，腰长为，底边长为2，所以圆锥的母线长，底面圆半径，所以该圆锥的侧面积为，故选B.11.【答案】B【解析】依题意可得在区间上单调递减，则在区间上恒成立.因为，所以在区间上恒成立，而在区间上单调递减，∴，的取值范围是，故选B.12.【答案】A【解析】因为，所以为圆的直径，由题意得，因为在以为直径的圆上，所以，故选A.13.【答案】【解析】因为，所以，即.14.【答案】2【解析】依题意，，当且仅当时取等号.15.【答案】8:27（填也可以）【解析】因为球的表面积公式为，体积公式为，所以由两个球的表面积之比为4:9可得它们的半径之比为2:3，所以它们的体积之比为8:27.16.【答案】-2【解析】因为是奇函数，所以，所以.17.解：（1）因为等比数列的公比，所以，，所以.（2）由（1）得，，（8分）所以的公差，（9分）所以，（10分）所以.【评分细则】如用其他解法，若正确，也给满分.18.（1）证明：∵，平面，平面，∴平面.（4分）（2）解：设点到平面的距离为，因为所以.即，解得.所以点到平面的距离为.【评分细则】如果第一问使用其他方法证明且步骤无误，不扣分.19.解：（1），.（2）（ⅰ）600名中国果切消费者中年龄不小于35岁的人数为.（ⅱ）由，，可得，所以，解得，所以这600名中国果切消费者年龄的中位数为24.（12分）【评分细则】1.第（2）小题第（ⅱ）问，结果不保留整数，扣1分；2.如用其他解法，若正确，也给满分.20.解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，所以，，，因此的标准方程为.（2）当直线3的斜率不存在时，：，联立解得或故，，不满足，即不是的中点.不符合题意.当直线的斜率存在时，设直线：，，.联立可得，即.所以.由于为的中点，所以，即，解得.管上，直线的方程为，即.【评分细则】第（2）题中也可以通过其他方法得出斜率的值，步骤结果无误，可给满分.21.（1）证明：因为，，所以，当时，，单调递減，当时，，单调递增，所以.（2）解：因为，所以，因为，令，得或，若，则，时，，单调递减，和时，，单调递增；若，则，，在上单调递增；若，则，时，，单调递减，和时，，单调递增，综上所述，当时，在上单堿递减，在和上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增.【评分细则】如有其他解法若正确，也给满分.22.解：（1）依题意，由，消去，得直线的直角坐标方程为；因为，故，即曲线的普通方程为.（2）由（1）知，曲线表示以为圆心，1为半径的圆.所以，要使得最小，只需最小，又，所以的最小值为.【评分细则】如用其他解法，结果正确步聚无误给满分.23.（1）解：因为，所以.当时，原式化为，解得，则；当时，原式化为，解得；当时，原式化为，解得，则，综述，原不等式的解集为.（2）证明：依題意，，当且仅当时取等号，又，当且仅当时取等号，故，，使得.【评分细则】第（1）问写成集合形式和区间形式都给分，写成不等式形式扣1分.