数学-甘肃省兰州第一中学2022-2023学年高二上学期期末

兰州一中2022-2023-1学期期末考试试题高二数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）11111．数列,,,,...的一个通项公式是（）26122011111A．anB．anC．aD．a1n(n1)2(2n1)nnn1nnx2y22．双曲线1的渐近线方程是（）3223A．yxB．yx3266C．yxD．yx23S2n3an53．已知等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，且，则（）Tn4nb51758A．B．C．D．2128134．若直线2xy20截取圆(xa)2y21所得弦长为2，则a（）11A．B．C．1D．12225．已知圆x2y21与抛物线y2pxp0交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则p等于（）525225A．B．C．D．2525x2y26．已知椭圆1ab0上存在点P，使得PF13PF2，其中F1，F2分别为a2b2椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（）1111A．0,B．,1C．,1D．,14422x2y27．已知F1,F2分别是双曲线C1的左、右焦点，P是C上位于第一象限的一点，44△且PF1PF20，则PF1F2的面积为（）A．2B．4C．22D．23兰州一中高二年级期末数学试卷第1页，共4页x2y28．已知双曲线C:1(a0,b0)的右焦点为F，关于原点对称的两点A､B分别在a2b2双曲线的左､右两支上，AFFB0,FC2BF，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（）171023A．B．C．5D．3223二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，有漏选得3分，有错选得0分）22229．已知圆O1:xy2x30和圆O2:xy2y10的交点为A，B，则（）A．两圆的圆心距O1O22B．直线AB的方程为xy10C．圆O2上存在两点P和Q使得PQABD．圆O1上的点到直线AB的最大距离为22x2y210．已知M是椭圆C:1上一点，F，F2是其左右焦点，则下列选项中正确是841（）2A．椭圆的焦距为2B．椭圆的离心率e2△C．椭圆的短轴长为4D．MF1F2的面积的最大值是4202111．关于x1及其二项展开式，下列说法正确的是（）A．该二项展开式中偶数项的二项式系数之和为2202171007B．该二项展开式中第8项为C2021x2021C．当x100时，x1除以100的余数是9D．该二项展开式中不含有理项x2y212．设C:1(a0,b0)的左右焦点为F1，F2．过右焦点F2向双曲线的一条渐a2b2近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若2AF2F2B，则下列判断正确的是（）A．双曲线渐近线方程为y3x23B．离心率为3C．它和双曲线3y2x23共用一对渐近线兰州一中高二年级期末数学试卷第2页，共4页D．过点0,1且和双曲线C只有一个公共点的直线，共有两条第Ⅱ卷（非选择题）三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若直线l1:2xmy10与l2:y3x1垂直，则实数m＝．14．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是_______.15．第5届中国国际进口博览会在上海举行，某高校派出了包括甲同学在内的4名同学参加了连续5天的志愿者活动．已知甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动，则甲同学参加连续两天活动的概率为______．（结果用分数表示）x2y216．已知椭圆C：1的左､右焦点分别为F1､F2，M为椭圆C上任意一点，N为4222圆：上任意一点，则的取值范围为Ex32y221MNMF1___________.四．解答题（本大题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列an为等差数列，bn是公比为2的等比数列，且满足a1b11,b2a25，(1)求数列an和bn的通项公式；(2)令cnanbn求数列cn的前n项和Sn.18．（12分）已知圆C经过坐标原点O和点（4，0），且圆心在x轴上，(1)求圆C的方程；(2)已知直线l：3x4y110与圆C相交于A、B两点，求所得弦长AB的值．兰州一中高二年级期末数学试卷第3页，共4页19．（12分）已知M(4,2)是直线l被椭圆x24y236所截得的线段AB的中点，求直线l的方程．22．（分）已知椭圆xy的左、右焦点分别为，，动点满足20121F1F2M123，MF1MF24(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)已知点A(2,0)，B(2,0)，当点M与A，B不重合时，设直线MA，MB的斜率分别为，，证明为定值k1k2:k1k2.x2y2y2x221．（12分）已知双曲线C：1a0,b0与双曲线1的渐近线相同，a2b262且经过点2,3，(1)求双曲线C的方程；已知双曲线的左､右焦点分别为，，直线经过，倾斜角为3π，与双曲线(2)CF1F2lF2l4交于两点，求的面积CA,BΔF1AB.522．（12分）已知抛物线C:y22pxp1上的点Px,1到其焦点F的距离为，04(1)求抛物线C的方程；(2)点Et,4在抛物线C上，直线l与抛物线交于Ax1,y1、Bx2,y2y10,y20两点，点H与点A关于x轴对称，直线AH分别与直线OE、OB交于点M、N（O为坐标原点），且AMMN.求证：直线l过定点.兰州一中高二年级期末数学试卷第4页，共4页兰州一中2022-2023-1学期期末考试试题高二数学（答案）一、单选题12345678CDBCDDBA二、多选题9101112BDBCDBCBC三、填空题13.614.2221,210115.516.四、解答题17．(10分)（1）设an的公差为d,由已知,有21d5解得d2，n1所以an的通项公式为an2n1,nN,bn的通项公式为bn2,nN.n1（2）cnanbn22n1，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式12nn(12n1)得到：Sn22n1.n122218．(12分)（1）由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为x2y24；611（2）由（1）可知：圆C半径为r2，设圆心（2，0）到l的距离为d，则d1，5由垂径定理得：AB2r2d223．19．(12分)由题意可知l斜率必存在，设l斜率为k，则直线l的方程为y2kx4，代入椭圆的方程化简得14k2x216k32k2x64k264k200，32k216k1设Ax1,y1,Bx2,y2，∵0，∴xx8，解得k，1214k22故直线l的方程为：x2y80.另解：由题知M在椭圆内，设直线l与椭圆相交于点Ax1,y1,Bx2,y2，易知直线l斜率存在，设斜率为k，∵A、B在椭圆上，x24y236①xx4yy11，①－②得x2x24y2y20，即12120，即22②1212x24y236y1y2x1x2814k0，解得k.421∴直线l的方程为y2x4，整理得x2y80.2x2y2120．(12分)（1）由椭圆123知：a212,b23c2a2b21239所以左、右焦点分别为F1(3,0),F2(3,0)因为动点M满足||MF₁|-|MF₂||=4F1F2所以动点M在以F1,F2为焦点的双曲线上，x2y2设动点M设方程为：221a1b1由双曲线的定义得：2a14,2c12c6222所以b1c1a1945x2y2所以动点M设方程为：145（2）设M(x0,y0)(x02)222x0y02x0则1y051454y00y0由k1kMAx0(2)x02y00y0k2kMBx02x02y0y0所以k1k2x02x02x20251y0422x04x0452x0442x04545所以kk.124y2x221．(12分)（1）依题意，设所求双曲线C方程为，6232221代入点2,3得，即，622y2x21y2所以双曲线C方程为，即x21．62232（2）由（1）得c134，则c2，F12,0，F22,0，33π又直线l倾斜角为π，则ktan1，故直线AB的方程为yx2，44设Ax1,y1，Bx2,y2，yx2联立2，消去y，得2，2y2x4x70x137则164270，xx2，xx，1212222由弦长公式得27，AB1kx1x2112423262202又点F12,0到直线AB:xy20的距离d22，211所以SABd62262．F1AB222122.(12分)(1)解：由点Px,1在抛物线上可得，12px，解得x0.002pp1p5由抛物线的定义可得PFx，022p241整理得2p25p20，解得p2或p（舍去）.2故抛物线C的方程为y24x.Et,42(2)证明：由在抛物线C上可得44t，解得t4，所以E4,4，则直线OE的方程为yx.易知Hx1,y1且x1、x2均不为0，易知y1y2，yyyy4k12120因为，y0，AB22，y102x1x2y1y2y1y24所以，直线l的斜率存在且大于0，设直线l的方程为ykxmk0，ykxm2联立得2化为ky4y4m0，y4x44m则1616km0，且yy，yy，12k12k由直线OE的方程为yx，得Mx1,x1.y2x1y2易知直线OB的方程为yx，故Nx1,.x2x2由AMMN，则M为AN的中点，xy12所以，2yMy1yN，即2x1y1，即2x1x2x2y1x1y2，x22222y1y2y1y2y1y2y1y2y1y2所以，，化为y1y22y1y2，则4m8得m2，844所以直线l的方程为ykx2，故直线l过定点0,2.