【数学】2023届T8联考（华中师大一附中命制）数学答案

２０２３届高三第一次学业质量评价(T８联考)数学试题参考答案及多维细目表解析gx为偶函数gxgx即题号【】∵(),∴()＝(－),１２３４５６７８９１０１１１２f(x)xf(x)x两边同时对x求导答案１＋－＝１－＋,得f′(x)f′(x)CBACBDCDABDACABDACD１＋－１＝－１－＋１,答案即f′xf′x１．【】C(１＋)＋(１－)＝２,解析由zz２可得z令x则f′【】１＋i＋i＝１－３i(i－１)＝＝０,(１)＝１,f′x为奇函数f′xf′x又f′z１１１故选∵(),∴(－)＝－(),(１１,∴＝＝－－i,C．xf′x即f′xf′xi－１２２＋)＋(１－)＝２,()＝２－(２－),答案联立f′xf′x得f′xf′２．【】B(－)＝－()－(－)＝２－(２解析MxxNxx故Mx即f′xf′x【】＝{|＞２},＝{|０＜≤３},∪－),(＋２)＝()＋２,N{xx}故选f′f′f′＝＞０,B．∴(２０２３)＝(２×１０１１＋１)＝(１)＋２×答案故选３．【】A１０１１＝２０２３,C．解析若an则SnSn{Sn}是递增数答案【】＞０,＞－１,∴【】列是{}是递增数列的充分条件８．DanSn解析依题意设PxyQxy,∴“＞０”“”;【】,(１,１),(１,１),{}－－若Sn是递增数列则SnSnannBxyAx直线PQQB(QA)BP的,＞－１,∴＞０(≥(２,２),(２１,０),、、但是a的符号不确定an不是(y)y２),１,∴“＞０”斜率分别为kkk则k０－－１１１２３２(){Sn}是递增数列的必要条件故选,,,＝xx＝x“”,A．２１－－１３１答案４．【】C１kkkkk１解析选项有可能出现点数例如＝１,１３＝－１,∴２３＝－,【】:,,,,３３A６２２３x２y２x２y２１１２２两式相减得４,６;∵a２＋b２＝１,a２＋b２＝１,选项有可能出现点数例如B:６,２,２,２,３,６;x２x２y２y２１－２１－２选项不可能出现点数１２a２＋b２＝０,C:６,∵×(６－２)＝５yyyyb２b２．如果出现点数则方差大于或等于不(１＋２)(１－２)即kk３２,６,３．２,∴xxŰxx＝－a２,２３＝－a２,可能是(１＋２)(１－２)２．４;b２b２c２b２选项有可能出现点数例如故选１１e２２∴－a２＝－,∴a２＝,∴＝a２＝１－a２＝,D:６,２,２,２,３,６,C．３３３答案【】５．B椭圆的离心率e６故选∴＝,D．解析απα３α１α３【】∵sin(＋)－cos＝sin－cos答案６２２９．【】ABD解析连接AC(απ)１【】１１,＝sin－＝,AD则NP是６２１,ACD的中位线απαππ１１∴sin(２＋)＝sin[２(－)＋]＝△,６６２NP故选项∴∥DC１,(απ)２(απ)１故选正确cos２－＝１－２sin－＝,B．A;６６２连接BDBA则答案１１,１,６．【】DMNADMN解析设圆台的上底面半径为r下底面半径R∥１,∴∥【】,,平面ACD即MN平面ACP故选项正确母线长为l球的半径为R１,,;,０,∥B球与圆台的两个底面和侧面均相切连接BDBAAD则平面MNP即为平面,１１,１,１,∵BAD显然DC不垂直平面BAD故选项lrRR２１１,１１１,C∴＝＋＝１＋３＝４,０＝１×３＝３,错误圆台的侧面积与球的表面积之比为S侧;∴S表＝PMBD即为PM与BC所成的∵∥,∴∠DBC１１rRl角故选项正确故选π(＋)Űπ(１＋３)×４４故选,∠DBC１＝６０°,D．ABD．R２＝＝,D．答案４π０４π×３３【】答案１０．AC解析方法一将fxxφ的图像向７．【】C【】:()＝sin(２＋)数学试题参考答案第页共页 １ ８SnSn(n)左平移π个单位得到gx累加得１－１解得Snn３()＝n－＝,２＝－４＋１２２n(nnN∗)当n时Sxπφxπφ的５１－５０≥２,∈,＝１,１＝－５０sin[２(＋)＋]＝sin(２＋＋)４２n３n满足上式Sn－５１－５０图像,∴＝,,２gx的图像与fx的图像关于y轴对称n２n()(),当n时anSnSn∵－１３－３－５０gf即φφ≥２,＝－＝,∴(０)＝(０),cos＝sin,２a故选项正确φπφπ经检验满足题意故选项∴５＝５＞０,A;∵＜,∴＝,,,n２n２４当n时an３－３－５０单调递增又a正确选项不正确≥２,＝,１＝A,B;２设fx的周期为Tgx的图像是fx的SaSS(),∵()()１＝－５０,２＝２－１＝－２２,Tan单调递增且aaaaa图像向左平移个得到gx的对称轴过∴{},１＜２＜３＜４＜０＜５＜,∴()a当n时Sn单调递减当n４６＜ƺƺ,∴≤４,{},≥５fx的对称中心故选项正确时Sn单调递增且SS当n时Sn(),C;,{},４＜５,∴＝４,取得最小值故选项正确当m[ππ]时fm的值域为,B;∈－,,()３４８又S７－５１×７－５０Sêéúù７＝＝－３２＜０,８＝ê２ú当n[ππ]时gn的值域为２ë－,１û,∈－,,()３２４８当Sn时n的最８－５１×８－５０,,êéúù＝２７＞０∴＞０ê２ú故选项不正确故２[０,１],ë－,１û⊄[０,１],D．小值为故选项错误２８,C;选SnSnAC．当n时当n时＝１,２,３,４,an＞０;＝５,６,７,an＜方法二由题意可得gx(xπ)φ:()＝sin[２＋＋]Sn４当n时０;≥８,an＞０,(xπφ)＝sin２＋＋,Sn２当n时考虑的最小值gx的图像与fx的图像关于y轴对∴＝５,６,７,an,∵()()称gxfx,()(),又当n时１恒为正且单调递减Sn恒∴＝－＝５,６,７,an,即xπφxφ为负且单调递增sin(２＋＋)＝sin(－２＋),２,Sn单调递增当时Sn取得最小值故xπφxφkkZn∴２＋＋＝π＋２－＋２π,∈,∴an,∴＝５,an,２选项正确故选解得φkπkZφπφπ故D,ABD．＝π＋,∈,∵＜,∴＝,答案４２４１２．【】ACD选项正确选项不正确fxxxA,B;解析由题意得(x)′－sixn【】[]＝２,fxxπ令xπkkZ得ee()＝sin(２＋),２＋＝π,∈,fxxx４４设Fx(x)则F′x－sixnk()＝,()＝２,fx的对称中心为ππkZgxee()(－,０),∈,()＝易得当x时F′x当x时F′x２８＜０,()＜０,＞０,()＞０,函数Fx在上单调递减在(x３)令x３kπkZ得∴()(－∞,０),(０,sin２＋π,２＋π＝π＋,∈,上单调递增４４２),k＋∞gx的对称轴为xππkZgx的ff()＝－,∈,∴()FF即(０)(１)f选２８∴(０)＜(１),０＜,∴(１)＞e,对称轴过fx的对称中心故选项正确选ee(),C;项正确项的判断同上A;D．ππ答案－sin１１．【】ABDf′πfπ２２()()π,解析由nSn(n)Sn(n)n∵－＝２＞０【】＝＋１－１＋－１Ű２２eSnSn(n)(nnN∗)得－１nf′πfπ选项错误＋１≥２,∈n－n＝－１∴()＞(),B;＋１２２SSSS２１３２xx(nnN∗)设hxf′xfx－sixn≥２,∈,∴－＝１,－＝２,ƺ,()＝()－()＝,３２４３eSnSnxxxxx－１n则h′x－sixn′１－cos－x＋sinn－n＝－１,()＝()＝,＋１ee数学试题参考答案第页共页 ２ ８设rxxxx()＝１－cos－＋sin,答案５则当x时rxxxx１４．【】π≥π,()＝(１－)＋(sin－cos)６解析方法一作向量O→AaA→Bb则O→Ba＜(１－π)＋２＜０;【】:＝,＝,＝当x时xx且xrxb由题意OAOB且ABOB≤０,sin≥,１－cos≥０,∴()≥０;＋,⊥,＝２,当时xr′xxxOABπab的夹角为５０＜＜π,()＝sin－１＋cos∴∠＝,∴,π．６６xπ＝２sin(＋)－１,方法二由bab平方得b２４:＝２＋＝(a２abb２)abaab当x(π)时r′xrx单调递增４＋２Ű＋,∵(＋)⊥,∴Ű∈０,,()＞０,∴(),a２代入b２(a２abb２)２＝－,＝４＋２Ű＋当时单调递减abx(π)r′xrx得baabŰ∈,π,()＜０,∴(),２３,‹,›ab２＝∴cos＝Ű＝又rr３∵(０)＝０,(π)＝２－π＜０,３ab的夹角为５xπ使得rx－,∴,π．∴∃０∈(,π),(０)＝０,２６２即当xx时rx当xx时答案[ln２ln３)∈(０,０),()＞０,∈(０,π),１５．【】,rx２３();xx＜０解析令fxln则f′x１－ln综上当xx时rx即h′x【】()x,()x２,:∈(－∞,０),()≥０,()≥＝＝hx单调递增当x时f′xfx单调递增０,∴();∈(０,e),()＞０,∴();当xx时rx即h′x当x时f′xfx单调∈(０,＋∞),()＜０,()＜０,∈(e,＋∞),()＜０,∴()hx单调递减递减∴(),,h当x时hxh且当x时fx当x时∵(０)＝０,∴＜０,()＜(０)＝０,∈(０,１),()＜０,∈(１,＋∞),当x时易证xxhxfx＞０,＞sin,∴()＞０,()＞０,且当x时hx方法一原不等式等价于→＋∞,()→０,:xxπ３,,－１－１＞１或０＜＜１又xπhπ２２xx∵０∈(,π),()＝π＞２＝lnalna２{x,{x,２２ee＞＜有且只有一个整数解a１方程hx１有两个解即方程f′x,f()f(),２,∴()＝２,()∵∴２≤＜３２e２e即实数a的取值范围为ln２ln３[,)．fx１有两个解选项正确２３＝()＋２,C;x２x２e方法二原不等式等价于(ln)alnfxx:x－Űx＞０,由Fx(x)可得fxFxf′x()＝()＝eŰ(),∴()exxxx若a则a或显然没有[FxF′x],lnxlnx,lnx＝e()＋(),＞０＞＜０＜０令uxFxF′x则u′xF′x整数解()＝()＋(),()＝()＋,[]xxxxxxxF′x′－sixn[－sixn′]－sixn要满足lna有且只有一个整数解又f()＝２＋２＝２x＞,(４)＝eeexxx则a可１－cos－２(－sin)rxln４ln２f()f(),f()f(),x(x)＝＝２＜３２≤＜３＋２＝２,４２ee得ln２aln３由以上分析可知当xπ时rx即≤＜;,∈(０,),()＞０,２３２xxxu′x若a则ln或lnaln有无数多()＞０,＜０,x＞０x＜,x＞０ux单调递增uxuF(),()()()x∴∴＞０＝０＋个整数解lna没有整数解F′f′x,x＜;(０)＝１,∴()＞０,若a不等式显然有无穷多个整数解fx在区间π上单调递增选项正＝０,,∴()(０,),D２综上实数a的取值范围为ln２ln３确故选,[,)．．ACD．２３答案【】x２y２１３．５答案２１１６．【】;－＝１解析(１)x６x６１x６３３４【】１－x(１＋)＝(１＋)－x(１＋),b解析方法一设POFα则有α又展开式中x３的系数为３４【】:∠２＝,tan＝a,C６－C６＝５．数学试题参考答案第页共页 ３ ８bxxyyFP垂直于渐近线yxOPaPF过M点的切线PQ００２＝a,∴||＝,|２|:a２－b２＝１,bb２xxb２＝,即y０ba＝ya２－y,αα００,,∴sin＝ccos＝c代入b２x２a２y２化简得a２y２b２x２x２－＝０,(０－０)＋a在OFP中由正弦定理a２b２xxa４b２△１,:α２０－＝０,sin(－３０°)又b２x２a２y２a２b２c０－０＝,a２b２x２a２b２xxa４b２＝,０,sin３０°∴－＋２－＝０ac即x２xxa２xxa２２abaa－２０＋＝０,∴１２＝,∴ba＝,∴＝３－,∴２＝b３１１SPOQxxab３bbcŰ－cŰ∴△＝a１２＝＝Ű＝２３,２２２ca２b２b２ba３be＋２１∴＝４,３,∴＝,∴＝a＝a２＝,x２y２２３ba故双曲线的方程为a２ab∴＝２,＝３,－＝１．方法二依题意可得P()F(c)３４:c,c,１－,０,解析由题意得aaa１７．【】(１)２ln２＝ln１＋ln３,F(c)２,,a２aa０∴２＝１Ű３,a２c２２ab２又{Sna}是等比数列PF＋a２