昆明市第一中学2024届高三第五次月考数学试题

机密★启用前【考试时间：12月28日15:00-17:00】昆明市第一中学2024届高中新课标高三第五次二轮复习检测数学试卷命题人：昆一中数学命题小组命题人：杨昆华彭力李文清李春宣丁茵王在方张远雄李露陈泳序杨耕耘本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的谷题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无放.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则（）A. B. C.2 D.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.3.古希腊著名数学家欧几里德在《几何原本》一书中定义了圆锥与直角圆锥这两个概念：固定直角三角形的一条直角边，旋转直角三角形到开始位置，所形成的图形称为圆锥；如果固定的直角边等于另一直角边时，所形成的圆锥称为直角圆锥，则直角圆锥的侧面展开图（为一扇形）的圆心角的大小为（）A. B. C. D.与直角圆锥的母线长有关4.下列函数中，在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.5.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）A. B. C. D.6.若，，则（）A. B. C.1 D.7.若曲线存在平行于轴的切线，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.四张外观相同的奖券让甲、乙、丙、丁四人各随机抽取一张，其中只有一张奖券可以中奖，则（）A.四人中奖概率与抽取顺序有关B.在丁未中奖的条件下，甲或乙中奖的概率为C.事件“甲或乙中奖”与事件“丙或丁中奖”为对立事件D.事件“丙中奖”与事件“丁中奖”相互独立二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小颔给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知由样本数据（）组成的一个样本，得到经验回归方程为且，去除两个异常数据和后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则（）A.相关变量，具有正相关关系B.去除异常数据后，新的平均数C.去除异常数据后的经验回归方程为D.去除异常数据后，随值增加，的值增加速度变小10.下列命题错误的是（）A.已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则B.已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若与的夹角为，则与所成角为C.若两个平面互相垂直，则过其中一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面D.若在平面内存在不共线的三点到平面的距离相等，则平面平面11.半圆形量角器在第一象限内，且与两坐标轴分别相切于，两点.设量角器的直径，圆心为，点为坐标平面内一点.下列选项正确的是（）A.B.C.当点与点重合时，与的夹角为D.的面积为212.已知椭圆的左右焦点分别为，，直线（）与椭圆相交于点，两点，则（）A.当时，的面积为 B.不存在，使为直角三角形C.存在使四边形面积最大 D.存在，使的周长最大三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.为定义在上的奇函数，当时，，则时，______.14.函数则关于的不等式的解集为______.15.已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，若直线与交于另一点，则的值为______.16.给定数列，定义上的加密算法：当为奇数时，将中各奇数项的值均增加，各偶数项的值均减去1；当为偶数时，将中各偶数项的值均增加，各奇数项的值均减去2，并记新得到的数列为（）.设数列：2，0，2，3，5，7，数列（）.则数列为______；数列的所有项的和为______.（第一空2分.第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）如图，四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，过直线的平面与棱，分别交于点，.（1）证明：；（2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值.18.（12分）已知点到椭圆：的左焦点和右焦点的距离之比为.（1）求点的轨迹方程；（2）若直线与的轨迹相交于，，与椭圆相交于，，求的值.19.（12分）已如的内角，，所对的边分别为，，，且.（1）苦，求的周长；（2）求的取值范围.20.（12分）某单位有10000名职工，想通过验血的方式筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占0.05.如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次，统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5人全部阴性：如果混合呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.（每一小组都要按要求独立完成）（1）按照这种化验方法能减少化验次数吗？如果能减少化验次数，大约能减少多少次？（2）如果㛿带病毒的人只占0.02，按照个人一组，取多大时化验次数最少？此时大约需化验多少次？附参考说明：（），（）先减后增0.88580.86810.85080.833721.（12分）已知数列满足，数列满足.（1）求，的值及数列的通项公式；（2）若（，），求的取值范围；（3）在数列中，是否存在正整数，，使，，（，，）构成等比数列？若存在，求符合条件的一组的值，若不存在，请说明理由.22.（12分）设，为函数（）的两个零点.（1）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）证明：.昆明一中2024届高三第5次联考数学参考答案命题、审题组教师杨昆华彭力李文清李春宣丁茵王在方张远雄李露陈泳序杨耕耘一、选择题题号12345678答案DABDCBCC1.解析：因为，所以，选D.2.解析：因为，，选A.3.解析：设直角圆锥底面半径，直角圆锥母线，直角圆锥的侧面展开图的圆心角大小为，由直角圆锥的定义可得，，则，由可得，.选B.4.解析：在（）上单调递增，在（）上单调递增，在（）上单调递增，在（）上单调递增，则A，B，C错，选D.5.解析：因为直线分别与轴，轴交于，两点，所以，又因为点在圆上，所以圆心为，则圆心到直线距离，故点到直线的距离的范围为，则，选C.6.解析：由题意得，将代入，得，，则，选B.7.解析：由题意，在有解，则有解，因为在上单调增，得，则，选C.8.解析：因为每个人中奖的概率都为QUOTE14，与抽取的顺序无关，所以A错误；令“丁未中奖”为事件AQUOTEA，“甲或乙中奖”为事件QUOTEBB，则QUOTEPA=34，，，所以B错误；因为事件“甲或乙中奖”与事件“丙或丁中奖”不可能同时发生且至少有一个发生，所以它们为对立事件，C正确；设“丙中奖”为事件QUOTEM，“丁中奖”为事件QUOTENN，则，因为只有一张奖券可以中奖，所以事件QUOTEMM，QUOTENN不可能同时发生，所以QUOTEPMN=0，所以QUOTE?PMN?PMPN所以事件QUOTEMM，QUOTENN不相互独立，所以D不正确，选C.二、多选题题号9101112答案ACACDABDCD9.解析：因为回归方程的斜率为正，所以相关变量QUOTEx，QUOTEyy具有正相关关系，所以A正确；由QUOTEx=2代入QUOTEy=2x−0.4得QUOTEy=3.6，去除两个异常数据和后，得到新的QUOTEx'=2×86=83，，所以B错误QUOTEy'=3.6×86=4.8；又因为得到的新的经验回归直线的斜率为3，所以由QUOTEy−3x=4.8−3×83=−3.2，所以去除异常数据后的经验回归方程为QUOTEy=3x−3.2y=3x−3.2，故C正确；因为经验回归直线的斜率为正数，所以变量QUOTEx，QUOTEyy具有正相关关系，去除异常数据后，斜率增大，值增加的速度变大，D错误，选AC.10.解析：对于A：由题意可得或，故A错误；对于B：由图象可得，则；所以，根据线面角的定义可得：与所成角为，故B正确；对于C：若点恰好在交线上，则不一定垂直于另一个平面，当且仅当点不在交线上时，根据面面垂直的性质定理，才可得到垂线垂直于另一个平面，故C错误；对于D：当平面内存在不共线的三点在平面的同侧且平面的距离相等，可得平面平面；当平面内存在不共线的三点在平面的两侧时，若到平面的距离相等，则平面与平面相交，所以D错误；选ACD11.解析：由题，有对于Ａ，因为，Ａ正确对于Ｂ，因为，，所以，，两式相加得，所以，Ｂ正确对于Ｃ，当点与点重合时，与的夹角为，Ｃ错误对于Ｄ，的面积为2，Ｄ正确选ABD12.解析：因为当时，的面积为，所以A错误；因为当时，，，当时，，，根据对称性，存在使为直角三角形，所以B错误；根据椭圆对称性可知，当时，四边形面积最大，所以C正确；由椭圆的定义得：的周长，因为，所以，当过点时取等号，所以，所以直线（）过椭圆的右焦点时，的周长最大，所以D正确，选CD.三、填空题13.解析：当时，，，得.14.解析：当时，恒成立；当时，的解集为；综上，的解集为.15.解析：因为，所以；又因为，所以，所以.16.解析：由题知，，1为奇数，所以：3，，3，2，6，6，，2为偶数，所以：1，3，1，6，4，10，因为，为偶数，为奇数，所以对于偶数项，，，得，则为等差数列，得数列中：第2项为：，第4项为：，第6项为：；对于奇数项，，，得，则为等差数列，得数列中：第1项为：，第3项为：，第5项为：，所以所有的项的和为.所以为：1，3，1，6，4，10；的所有项的和.四、解答题17.解：（1）证明：因为四边形为平行四边形，所以，因为平面，且平面，所以平面，因为平面平面且平面，所以，所以.（2）建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）知且，则，则，，，，，，所以，，，，设平面的一个法向量为，则，得，设平面的一个法向量为，则，得，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.解：（1）由题意得，，所以左焦点为,右焦点为.设点的坐标为，则,化简得，所以点的轨迹方程为.（2）由（1）得，点的轨迹方程为,所以圆心到直线距离为，所以直线与相交的线段，联立直线与的轨迹方程，,得，由根与系数的关系得，直线曲线相交的线段所以.19.解：（1）因为，所以，所以，所以，由正弦定理得：，因为，所以，的周长等于9.（2）由余弦定理得：，又由（1）得：，所以，而（当且仅当时取“”），所以，（当且仅当，即为正三角形时，取“＝”），又因为，余弦函数在上单调递减，所以，.20.解：（1）依题意：每5人一组需要验血次数的所有可能取值为1，6.所以：，.所以的分布列为：16所以.所以共需要化验次数大约为：（次）.故大约减少（次）.（2）假设个人一组，设每个人需要化验的次数为，若混合血样呈阴性，则，若混合血样呈阳性，则所以的分布列为：所以（）.因为先减后增，，∴.，∴.所以当时，最小，最小值为：，此时大约需要化验：次.21.解：（1）由已知得：，.因为，，所以，而，所以是以1为首项，2为公差的等差数列，所以数列的通项公式为.（2）不等式化为：，设，则，所以在上单调递增，所以，因为在上恒成立，所以，所以的取值范围为.（3）若，，（，，）构成等比数列，则，即：，所以，由于，均为正整数，所以奇数必须是完全平方数，又因为，所以，且（），所以，当时，，，即：，不满足题意，舍弃；当时，，，即：，，不满足题意，舍弃；当时，，，即：，，所以符合条件的一组的值可以是.（注：，，…即的奇数均可，答案开放，满足题意的一组值即可）22.解：（1）的定义域为，，当时，，当时，，故在内单调递减，在单调递增，故要使有两个零点，则需，故，当时，因为，又，故在内存在唯一零点，又，故在内存在唯一零点，则在上存在两