衡中同卷2023-2024学年高三12月期末考试数学试题（原卷版）

数学试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题共60分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知直线：和直线：垂直，则（）A. B. C. D.3.已知圆锥底面半径为2，高为，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.4.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（）A. B. C.2 D.05.已知是第一象限角，，则（）A. B. C. D.6.记为等比数列前项和，且成等差数列，则（）A.126 B.128 C.254 D.2567.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A. B. C. D.8.设，，，则（）A. B.C. D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（）A.是递增数列 B.C.当时， D.当或4时，取得最大值10.已知函数，则下列说法错误的是（）A.图象在处的切线斜率大于0B.的最大值为C.在区间上单调递增D.若有两个零点，则11.已知为偶函数，，则下列结论正确的是（）A.B.若的最小正周期为，则C.若在区间上有且仅有个最值点，则的取值范围为D.若，则的最小值为12.如图，在中，，，，过中点的直线与线段交于点．将沿直线翻折至，且点在平面内的射影在线段上，连接交于点，是直线上异于的任意一点，则（）A.B.C.点的轨迹的长度为D.直线与平面所成角的余弦值的最小值为第II卷（非选择题共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，若，则__________.14.写出一个圆心在上，且与直线和圆都相切的圆的方程：______.15.表面积为100π球面上有四点S､A､B､C，△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为3，若面SAB⊥面ABC，则棱锥体积的最大值为___________.16.数列满足，则的整数部分是__________．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求角B；（2）设BD是AC边上的高，且，，求的周长.18.如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，AC与BD交于点O，底面ABCD，F为BE的中点，．（1）求证：平面ACF；（2）求AF与平面EBD所成角的正弦值．19.已知数列是各项都为正整数的等比数列，且是与的等差中项，数列满足.（1）求数列的通项公式;（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.20.已知点到的距离是点到的距离的2倍.（1）求点的轨迹方程；（2）若点与点关于点对称，过的直线与点的轨迹交于，两点，探索是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21已知函数．（1）当时，讨论函数在上的单调性；（2）当时，证明：对，有．22.如图①，在中，分别为的中点，以为折痕，将折起，使点到达点的位置，且，如图②.（1）设平面平面，证明：平面；（2）是棱的中点，过三点作该四棱锥的截面，与交于点，求；（3）是棱上一点（不含端点），过三点作该四棱锥的截面与平面所成的锐二面角的正切值为，求该截面将四棱锥分成上､下两部分的体积之比.