重庆市南开中学校2023-2024学年高三1月第五次质量检测数学试卷

重庆市高2024届高三第五次质量检测数学试题命审单位：重庆南开中学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1.已知复数，复数的共轭复数为若，则（）A.2B.C.D.82.函数的图象的一条对称轴方程是（）A.B.C.D.3.已知函数，则不等式的解集是（）A.B.C.D.4.已知展开式中各项系数之和为3，则展开式中的系数为（）A.-10B.-11C.-13D.-155.已知集合，且，用组成一个三位数，这个三位数满足“十位上的数字比其它两个数位上的数字都大”，则这样的三位数的个数为（）A.14B.17C.20D.236.已知正三棱台的上､下底面的边长分别为6和12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的体积为（）A.B.C.D.7.已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.8.已知抛物线的焦点为，点，点在抛物线上，且满足，若的面积为，则的值为（）A.3B.4C.D.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.已知为数列的前项和，，若数列既是等差数列，又是等比数列，则（）A.是等差数列B.是等比数列C.为递增数列D.最大项有两项10.已知圆，过直线上一点向圆作两切线，切点为，则（）A.直线恒过定点B.最小值为C.的最小值为D.满足的点有且只有一个11.某中学为了提高同学们学习数学的兴趣，激发学习数学的热情，在初一年级举办了以“智趣数学，“渝”你相约”为主题的数学文化节活动，活动设置了各种精彩纷呈的数学小游戏，其中有一个游戏就是数学知识问答比赛.比赛满分100分，分为初赛和附加赛，初赛不低于75的才有资格进入附加赛（有参赛资格且未获一等奖的同学都必须参加）.奖励规则设置如下：初赛分数在直接获一等奖，初赛分数在获二等奖，但通过附加赛有的概率升为一等奖，初赛分数在获三等奖，但通过附加赛有的概率升为二等奖（最多只能升一级，不降级），已知A同学和B同学都参加了本次比赛，且A同学在初赛获得了二等奖，根据B同学的实力评估可知他在初赛获一､二､三等奖的概率分别为，已知4，B获奖情况相互独立.则下列说法正确的有（）A.B同学最终获二等奖的概率为B.B同学最终获一等奖的概率大于A同学获一等奖的概率C.B同学初赛获得二等奖且B最终获奖等级不低于A同学的概率为D.在B同学最终获奖等级不低于A同学的情况下，其初赛获三等奖的概率为12.如图，在棱长为1的正方体中，点在侧面内运动（包括边界），为棱中点，则下列说法正确的有（）A.存在点满足平面平面B.当为线段中点时，三棱锥的外接球体积为C.若，则最小值为D.若，则点的轨迹长为三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知角终边上有一点，则__________.14.已知数列满足，若，则__________.15.已知椭圆的左右焦点分别为，过椭圆外一点和上顶点的直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为__________.16.平面向量满足，则最大值为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.如图，在平面四边形中，为钝角三角形，为与的交点，若，且（1）求的大小；（2）求的面积.18.已知数列前项和为，且满足__________.①首项，均有②，均有且请从条件①和②中选一个填到题目条件下划线上（若两个都填，以第一个为准），并回答下面问题：（1）求数列的通项公式；（2）求数列前项和的表达式19.新能源渗透率是指在一定时期内，新能源汽车销量占汽车总销量的比重.在2022年，新能源汽车的渗透率达到了28.2%，提前三年超过了“十四五”预定的20%的目标.2023年，随着技术进步，新能源车的渗透率还在继续扩大.将2023年1月视为第一个月，得到2023年1-10月，我国新能源汽车渗透率如下表：月份代码12345678910渗透率29323432333436363638（1）假设自2023年1月起的第个月的新能源渗透率为，试求关于的回归直线方程，并由此预测2024年1月的新能源渗透率.（2）为了鼓励大家购买新能源汽车，国家在2024年继续执行新能源车购置税优惠政策：在2024年6月1日前购买的新能源车无需支付购置税，而燃油车需按照车价支付购置税.2024年1月小张为自己的客户代付购置税，当月他的客户购买了3辆车价格均为20万元，假设以（1）中预测的新能源渗透率作为当月客户购买新能源车的概率，设小张总共需要代付的购置税为万元，求的分布列和期望.附：一组数据的线性回归直线方程的系数公式为：20.如图，斜三棱柱中，底面是边长为的正三角形，侧面为菱形，且.（1）求证：；（2）若，三棱柱的体积为24，求直线与平面所成角的正弦值.21.已知双曲线的一条浙近线方程为，且点在双曲线上.（1）求双曲线的标准方程；（2）设双曲线左右顶点分别为，在直线上取一点，直线交双曲线右支于点，直线交双曲线左支于点，直线和直线的交点为，求证：点在定直线上.22.若函数在定义域内存在两个不同的数同时满足且在点，处的切线斜率相同，则称为“切合函数”.（1）证明：为“切合函数”；（2）若为“切合函数”（其中为自然对数的底数），并设满足条件的两个数为.①求证：；②求证：.数学试题参考答案与评分细则题号123456789101112选项ABABCCDDBCDACBCDABD13.【解析】14.750【解析】所以周期为3，且15.【解析】法一：因为为中点，，所以也是中点.则，代入椭圆方程可得离心率法二：因为为中点，，所以用焦半径公式，解得16.4【解析】设，向量夹角为，则设，由得：化简得：，即在一个圆上而，所以即求的最大值，为在上投影长度最大时，即令，则在即时取得17.解：（1）在中，由正弦定理得：，或，当时，，与为钝角三角形不符合，舍去.所以.（2）由（1）知，为等腰三角形，，，由，可得法二：作于，则，由得，则.18.解：（1）若选条件①，则令，可得：，故当时有：又当也符合上式，所以若选条件②，则由可得当时有：，两式相减得；，因为，故有又由题可求得，所以是首项为1，公差为2的等差数列，从而有（2）由（1）可知：，则两式相减得：所以19.（1）计算得，所以：则同归直线方程为，代入得所以预测2024年1月新能源渗透率为；（2）由题意，每个客户购买新能源车的概率为，燃油车概率为所有可能取值为则，所以的分布列为0246所以（万元）.20.解：（1）证明：取中点，连接，由题知为正三角形，而也是正三角形，，又平面，平面（2），由余弦定理得，又，又平面两两垂直.以为原点，以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系如图.因为三棱柱的体积为，则.设平面的法向最为，由，可取，设向量与的夹角为，，直线与平面所成角的正弦值为.21.解：（1）因为渐近线方程为，所以，设双曲线为，代入得，双曲线的标准力程为（2）设直线，联立双曲线得：；设直线，联立双曲线得：所以则设，则，两式相除消得所以在直线上另证：设直线，直线，由于，即，由于，即则.后同前证22.解：（1）假设存在满足题意，易知，由题可得：代入上式可解得或，故为“切合函数”（2）由题可知，因为“切合函数”，故存在不同的（不妨设）使得：①先证：，即证：令，则由可知，要证上式，只需证：，易知故在单调递减，所以，故有成立由上面的式可得②由上面的式可得：，代入到式中可得：且（1）可得（另解：由上面的式可得，代入到式的变形：，整理后也可得到）故要证，只需证：设，则即证：在单调递增在单调递增所以原不等式成立另证：当时，可用放缩代入证明不等式成立当时，可用放缩代入证明不等式成立综上，原不等式成立