河南省九师联盟大联考2024届高三上学期12月月考数学试题（原卷版）

高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数，，若为纯虚数，则实数的值为（）A. B.2 C. D.13.函数的图象大致为（）A. B.C. D.4.已知是空间两个不同的平面，是空间两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若，，且，则B.若，，且，则C.若，，且，则D.若，，且，则5.已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，将角的终边顺时针旋转后得到角，则（）A. B. C. D.6.已知抛物线的焦点为，准线为，过上的一点作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），且的面积为，则的方程为（）A. B. C. D.7.一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为1的小球后，再放入一个球，则球的表面积与容器表面积之比的最大值为（）A B. C. D.8.已知函数的定义域为，且，若关于的方程有4个不同实根，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.近年来，乡村游成为中国国民旅游的热点，下面图1，2，3，4分别为2023年中国乡村旅游消费者年龄、性别、月收入及一次乡村旅游花费金额的有关数据分析，根据该图，下列结论错误的是（）A.2023年中国乡村旅游消费者中年龄在岁之间的男性占比超过B.2023年中国乡村旅游消费者中月收入不高于1万元的占比超过C.2023年中国乡村旅游消费者中一次乡村旅游花费4个范围占比的中位数为D.2023年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费的平均数估计值高于650元（同一花费区间内的数据用其中间值作代表）10.若矩形的所有顶点都在椭圆上，且，，点是上与不重合的动点，则（）A.的长轴长为4 B.存在点，使得C.直线的斜率之积恒为 D.直线的斜率之积恒为11.已知正数满足，则（）A. B. C. D.12.在棱长为1的正方体中，点满足，其中，，则下列说法正确的是（）A.若，则点轨迹所在直线与平面平行B.若，则C.若，则最小值为D.若与平面所成角的大小为，则的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，则曲线在点处的切线方程为______.14.的展开式中的系数为______.（用数字作答）15.求作一个立方体，使其体积等于已知立方体体积的2倍，这就是历史上有名的立方倍积问题.1837年法国数学家闻脱兹尔证明了立方倍积问题不能只用直尺与圆规作图来完成，不过人们发现，跳出直尺与圆规作图的框框，可以找到不同的作图方法.如图是柏拉图（公元前427—公元前347年）的方法：假设已知立方体的边长为，作两条互相垂直的直线，相交于点，在一条直线上截取，在另一条直线上截取，在直线上分别取点，使（只要移动两个直角尺，使一个直角尺的边缘通过点，另一个直角尺的边缘通过点，并使两直角尺的另一边重合，则两直角尺的直角顶点即为），则线段即为所求立方体的一边.以直线、分别为轴、轴建立直角坐标系，若圆经过点，则圆的方程为______.16.已知数列满足，集合，若恰有4个子集，则______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记为数列的前项和，若，.（1）求；（2）若，求数列的前项和.18.已知内角的对边分别为，为锐角，的面积为，.（1）判断的形状，并说明理由；（2）如图，若，，为内一点，且，，求的长.19.如图，在三棱柱中，，，平面平面.（1）求证：；（2）若，三棱锥的体积为18，点在棱上，且，求平面与平面夹角的余弦值.20.2023年5月28日我国具有完全自主知识产权的国产大飞机C919开启全球首次商业载客飞行，C919飞机的研制，聚集了我国数十万科研人员的心血，其中等高校为C919大飞机做出了重要贡献，如A高校参与了气动总体、结构强度、航电、飞控和液压等设计，参加人数如下表：项目气动总体结构强度航电飞控液压参与人数55343B高校有8位教师参加了相关设计论证，具体如下表：设计论证气动总体设计论证气动外形设计论证结构强度论证航电设计论证液压系统论证起落架的论证参与教师（1）某科普博主准备从共6所高校中随机选3所高校介绍其为C919大飞机做出的贡献，连续3天，每天发布一篇博文，每篇博文介绍一所高校（3天将选中的3所高校全部介绍完），求被选到，且C在第2天被介绍的概率；（2）若从A高校参与设计的20人中随机选3人，在选到航电设计人员的条件下，求选到气动总体设计人员的概率；（3）若从B高校参与6个论证项目中随机选取3个，记这3个论证项目中B高校参与教师人数为X，求X的分布列与期望.21.已知双曲线Γ：，，为Γ的左、右顶点，为Γ上一点，的斜率与的斜率之积为．过点且不垂直于x轴的直线l与Γ交于M，N两点．（1）求Γ的方程；（2）若点E，F为直线上关于x轴对称的不重合两点，证明：直线ME，NF的交点在定直线上．22已知函数.（1）若有唯一极值，求的取值范围；（2）当时，若，，求证：.