陕西省商洛市2024届高三上学期尖子生学情诊断考试数学（文科）试题

商洛市2024届高三尖子生学情诊断考试数学试卷（文科）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：高考范围.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知复数，则的虚部为（）A.B.C.1D.-13.如图所示方格纸上的图形为某几何体的三视图（其中小方格边长为1），则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.4.如图，在中，满足条件，若，则（）A.8B.4C.2D.5.已知抛物线的焦点为，点在上，点，则周长的最小值为（）A.8B.10C.12D.136.已知等比数列的前项和，则（）A.3B.9C.-9D.-37.设某批产品的产量为（单位：万件），总成本（单位：万元），销售单价（单位：元/件），若该批产品全部售出，则总利润（总利润销售收入-总成本）最大时的产量为（）A.7万件B.8万件C.9万件D.10万件8.已知双曲线的一条渐近线为为右支上任意一点，且到的距离为，到左焦点的距离为，则的最小值为（）A.4B.C.D.9.已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意两个实数，不等式恒成立，则不等式的解集是（）A.B.C.D.10.已知函数的图象与的图象关于轴对称，若将的图象向左至少平移个单位长度后可得到的图象，则（）A.的图象关于原点对称B.C.在上单调递增D.的图象关于点对称11.暑假期间，同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展览中获得了一致好评.其中甲的作品是在球当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，若圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球的表面积为（）A.B.C.D.12.设，则（）A.B.C.D.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在等差数列中，首项，公差，若，则等于__________.14.若，则__________.15.月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见.某学习小组通过单光源实验来演示月球背面.由光源点射出的两条光线与分别相切于点，称两射线上切点上方部分的射线与优弧上方所夹的平面区域（含边界）为圆的“背面”.若以点为圆心，为半径的圆处于的“背面”，则的最大值为__________.16.如图，已知椭圆的离心率为，左顶点是，左､右焦点分别是是在第一象限内的一点，直线与的另一个交点为.若，则直线的斜率__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）某运动产品公司生产了一款足球，按行业标准这款足球产品可分为一级正品､二级正品､次品共三个等级.根据该公司测算：生产出一个一级正品可获利100元，一个二级正品可获利50元，一个次品亏损80元.该运动产品公司试生产这款足球产品2000个，并统计了这些产品的等级，如下表：等级一级正品二级正品次品频数1000800200（1）求这2000个产品的平均利润是多少；（2）该运动产品公司为了解人们对这款足球产品的满意度，随机调查了100名男性和100名女性，每位对这款足球产品给出满意或不满意的评价，得到下面的列联表：满意不满意总计男性3268100女性6139100总计93107200问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性和女性对这款足球产品的评价有差异？附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82818.（本小题满分12分）如图，在平面四边形中，.（1）求；（2）求.19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，是的中点.（1）证明：；（2）若，求点到平面的距离.20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数，椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，且.（1）求椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点时，设，求的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若的两个极值点分别为，证明：.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）已知曲线交于两点，求线段的长.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知.（1）解不等式；（2）令，若的图象与轴所围成的图形的面积为，求实数的值.商洛市2024届高三尖子生学情诊断考试·数学试卷（文科）参考答案､提示及评分细则1.C，所以.故选C.2.D因为，所以，则的虚部为-1.故选D.3.A易知三视图所表示的为四棱锥（如图所示），且底面是边长为2的正方形，一条侧棱与底面垂直，且，易求，，所以该几何体的表面积为.故选A.4.A因为，所以，故.故选A.5.D如图，显然，记抛物线的准线为，则，记点到的距离为，点到的距离为，则.故选D.6.D当时，；当时，，又是等比数列，所以，解得.故选D.7.B总利润412，当且仅当，即时，最大.故选B.8.B由题可知，，设右焦点到渐近线的距离为，由图可知，.故选B.9.A由任意两个实数，不等式恒成立，得函数在上单调递增.由函数是定义在上的奇函数，得，所以不等式化为，解得-2022，所以不等式的解集为.故选A.10.B由题意，可设，因为与的图象关于轴对称，所以，则的最小值为，所以，则.对于A，因为的定义域为，而，所以不是奇函数，图象不关于原点对称，错误；对于B，，B正确；对于C，由，得，又在上不单调，C错误；对于D，，不存在，使，故不是图象的对称中心，D错误.故选B.11.C圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，设圆锥的母线长为，所以，解得.设圆锥的底面圆半径为，所以，解得，所以圆锥的高，设球的半径为，所以，解得，所以球的表面积等于.故选C.12.D设，设0，所以，所以函数在上单调递增，所以，即.根据已知得，可设，则，所以函数在上单调递增，所以，即.综上，.故选D.13.34因为，由题知，即，所以.14..15.如图所示，设过点的切线方程为，所以，解得，所以直线的方程为，即，直线的方程为，即，因为圆处于圆的“背面”，由图可知，当圆与圆外切且圆与（或）相切时，取最大值，由圆与圆外切，得，由圆与相切，得，由，得，所以，即0，解得或，结合可得，所以的最大值为，同理圆与相切时的最大值为，故的最大值为.16.因为椭圆的离心率为，则，又因为，即，则，则.设，则，所以.由解得所以.17.解：（1）依题意可得平均利润为（元）.（2）依题意可得，所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性和女性对这款足球产品的评价有差异.18.解：（1）在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，因为，所以，所以，所以，在中，由余弦定理得.（2），则，则是正三角形，所以，在中，由正弦定理得，即，解得.19.（1）证明：菱形中，，所以为等边三角形，是的中点，所以，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以.（2）解：连结交于，则为的中点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，设为.因为为中点，，所以.因为平面平面，平面平面平面，所以平面.因为平面，所以，因为，所以，在Rt中，易知，所以.取中点，连接，易得在Rt中，，所以，在中，，所以.又.由得，所以.即点到平面的距离为.20.解：（1）由已知，设点的坐标分别为，又点的坐标为，且，所以解得，所以椭圆的方程为.（2）设，则依据得，整理得，又故得，即，，又，得，又，故，且，故实数的取值范围为.21.（1）解：依题意，，当时，，所以在上单调递减；当时，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在，上单调递减，在上单调递增；当时，，所以在上单调递增.（2）证明：不妨设，由（1）知，当时，在（上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以是的极大值点，是的极小值点，所以，所以.由（1）知，，则.要证，只需证.因为，设.所以，所以在上单调递增，所以.所以，即得成立.所以原不等式成立.22.解：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），所以曲线的普通方程为；因为曲线的极坐标方程为，所以，即，又，所以曲线的直角坐标方程为.（2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，为直线，且圆心到直线的距离，所以圆与直线相交，所以.23.解：（1）当时，，解得，无解；当时，，解得，所以；当时，，解得，所以.综上所述，不等式的解集为.（2）画出的图象，由（1）知，阴影部分的面积为，所以的图象向下平移至阴影部分的上沿与轴重合时，图形与轴所围成图形的面积恰为阴影部分的面积，即为，此时函数的图象向下平移的距离为3，故.