辽宁省锦州市2023-2024学年高三上学期1月期末数学试题

2023~2024学年度第一学期期末考试高三数学注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号：答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，则（）A.B.C.D.2.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量满足，则（）A.-12B.-20C.12D.204.《九章算术》对中国古代的数学发展有很大影响，它标志着中国古代数学体系的形成.其中记载了这样一个数学问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗.羊主曰“我羊食半马.”马主曰“我马食半牛.”今欲衰偿之，问牛主出几何.意思是：牛､马､羊吃了别人的禾苗，苗主人要求三牲畜的主人共赔偿他五斗粟，羊的主人说：“我的羊吃了马一半的量.”马的主人说：“我的马吃了牛一半的量.”现在若依据三牲畜吃苗的量按比例赔偿苗主，牛主应偿还（）粟？（1斗=10升）A.1斗升B.1斗升C.2斗升D.2斗升5.若随机变量，则下列说法错误的是（）A.的密度曲线与轴只有一个交点B.的密度曲线关于对称C.D.若，则6.若，则下列结论一定正确的是（）A.B.C.D.7.已知是抛物线的焦点，过的直线与交于两点，过作准线的垂线，垂足为.若线段的垂直平分线与准线交于点，点到直线的距离为，则当时，直线的方程为（）A.或B.或C.或D.或8.已知函数的定义域为，且，当时，，则（）A.B.C.D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以长为，宽为的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积可以为（）A.B.C.D.10.关于函数有下列命题，其中正确的是（）A.的图像关于点对称B.在区间上是单调递减函数C.若在区间上恰有两个零点，则的取值范围为D.的图像关于直线对称11.如图，棱长为2的正方体中，为的中点，动点在平面内的轨迹为曲线.下列结论正确的有（）A.当时，是一个点B.当动点到直线的距离之和为时，是椭圆C.当直线与平面所成的角为时，是抛物线D.当直线与平面所成的角为时，是双曲线12.已知函数，若关于的方程有四个不同的解且，则的可能取值为（）A.B.C.D.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知事件与事件互斥，如果，那么__________.14.曲线在处的切线的倾斜角为，则__________.15.双曲线的焦距为，已知点，点到直线的距离为，点到直线的距离为，且，则双曲线离心率的取值范围为__________.16.已知矩形垂直于点垂直于点，将矩形沿对角线折起，使异面直线成角，若四点都在球的表面上，则球的半径为__________，此时两点间距离为__________.（第一空2分，第二空3分）四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面为中点，且.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值.18.（本题满分12分）已知为数列的前项和，，且__________.从①成等差数列；②成等比数列；③这三个条件中任选一个补充在上面的横线上，并解答下列问题.（1）求数列的通项公式；（2）记求数列的前项的和.注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.19.（本题满分12分）在中，内角所对的边分别为，其外接圆半径为，.（1）求；（2）求的面积.20.（本题满分12分）为不断提升社区服务质量，某物业公司监察部门对其服务的甲､乙两个社区开展“服务满意度大调查”，随机对两社区多名业主发放调查问卷，对物业公司服务评分，并绘制如下频率分布直方图，其中为非常不满意，为不满意，为一般，为基本满意，为满意，为非常满意.（1）求乙社区调查结果图中的值并估计乙社区调查结果的分位数（精确到0.01）；（2）已知调查问卷中有来自甲社区业主.①若在所有评分不足60分的调查问卷中随机抽取一份，请估计这份问卷恰好来自甲社区业主的概率；②为了解业主对物业公司服务的具体意见，在所有评分不足60分的调查问卷中随机抽取70份进行细致分析，求这70份问卷中来自甲社区业主的问卷份数的期望.21.（本题满分12分）已知椭圆的短轴长为4，离心率为.直线与椭圆交于两点，点不在直线上，直线与交于点.（1）求椭圆的方程；（2）求直线的斜率.22.（本题满分12分）已知函数的最小值为0，其中.（1）求的值；（2）若对任意的，有成立，求实数的最小值；（3）证明：.2023~2024学年度第一学期期末考试高三数学（参考答案及评分标准）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1-8CDACBDAB二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.CD10.ABC11.AD12.ABD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.14.16.5，或（第一空2分，第二空3分）四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）（1）证明：连接，交于点，连接，因为为中点，为中点，所以又因为平面平面，所以平面.（2）解：如图，以为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，则，令，得.设直线与平面所成角为，且，所以，所以，即直线与平面所成角的余弦值为.18.（本题满分12分）解：（1）由，当时，，两式相减得，即，所以数列为等比数列，公比为.选①，由成等差数列，可得，即，解得，所以选②由成等比数列，得，即，解得，所以选③，由，得，所以（2）当为奇数时，记前项的和中的奇数项之和为，当为偶数时，，记前项和中的偶数项之和为，故19.（本题满分12分）解：（1）因为且外接圆半径为1，根据正弦定理得，即，代入，即，由于，则，所以，则，解得.（2）因为，根据正弦定理得，即由（1）知，所以，所以，由余弦定理得，解得.所以20.（本题满分12分）解：（1）由频率之和为1得：，解得：这组的频率为：这组的频率为：，，故分位数在组，设分位数为，则，解得故分位数为89.09（2）①任抽一份问卷，是来自甲社区业主的问卷记作事件A，问卷评分不足60分记作事件.根据题意可知：所以，所以，，所以，从不足60分的问卷中抽取一份，该份问卷是来自甲社区业主问卷的概率为②70份评分不足60分的调查问卷中来自甲社区业主的问卷份数，所以21.（本题满分12分）解：（1）因为椭圆的短轴长为4，所以，因为离心率为，所以，又，所以，所以椭圆的方程（2）设，联立，可得，，，因为不在直线上，所以，即，则直线方程为：，令，则，因为直线与交于点，所以，所以，将代入，可得，所以直线的斜率为2.22.（本题满分12分）解：（1）由得，所以时在上单调递增；时，在上单调递减，所以，所以（2）设，所以对任意恒成立①时，不符合题意②当时，在上单调递减；在上单调递增，所以时，不符合题意③当时，在恒成立，所以在上单调递增，，符合题意，综上，所以的最小值为.（3）由（2）知：令得：，令得：，当时，（1）当时，，所以，（2），（3）.....，（n）将（1）（2）（3），.....，（n）式相加得：不等式左边：不等式右边：；所以.