数学-广东省中山市第一中学2023-2024学年高三上学期第五次统测试题

中山市第一中学2023~2024学年第一学期高三年级第五次统测数学本试卷共5页，共150分，考试时长120分钟.一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）xN2x331.集合的真子集个数为（）A.2B.3C.4D.52.复数z满足(1i)z2i，其中i为虚数单位，则（）A.z2z20B.zz022C.zz0D.zz03.正三角形ABC中，AB2，P为BC上的靠近B的四等分点，D为BC的中点，则APBD（）1133A.B.C.D.24424.过点(0,4)与圆x2y24x10相切的两条直线的夹角（锐角）为，则cos（）31516A.B.C.D.24245.各项均为正数的等比数列an中，a2,a42,a5成等差数列，a12,Sn是an的前n项和，则S10S4（）A.1008B.2016C.2032D.40326.在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛Alberobello，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个Trullo的屋顶，得其母线长为6m，屋顶的表面积为12πm2(即圆锥的侧面积)．若从该屋顶底面圆周一点A绕屋顶侧面一周至过A的母线的中点，安装灯光带，则该灯光带的最短长度为（）A.33mB.35mC.37mD.6mx2y2x2y27.设ab0，椭圆1的离心率为e1，双曲线1的离心率为e2，若e1e21，a2b2b2a22b2a则的值是（）b5115A.1B.2C.D.22x22ax2a,x1已知函数fxaR，若关于x的不等式fx0恒成立，则实数a的取值范8.xeax,x1围为（）A.0,1B.0,2C.1,eD.0,e二、多选题（本大题共4小题，共20分.每小题有多项符合题目要求）9.山东省某地区2013年至2022年生产总值指数分别为112.2，108.1，108.7，108.7，109.5，108.9，108.1，104.0，107.3，104.3，则（）A.这组数据的极差为8.2B.这组数据的众数为108.1C.这组数据的中位数为108.4D.这组数据的上四分位数为108.910.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的（）A.PB1不可能垂直于CD1B.A1P//平面ACD1C.三棱锥D1APC的体积不变9D.若正方体的棱长为1，且E，F分别为AD，AA的中点，则过E，F，P的截面面积最大值为18x2y211.已知双曲线C:1a0，b0的离心率为5，F1，F2是双曲线C的两个焦点，经过点a2b2F2直线l垂直于双曲线C的一条渐近线，直线l与双曲线C交于A，B两点，若ABF1的面积为24，则（）1A.双曲线C的渐近线方程为yx2B.双曲线C的实轴长为6C.线段AB的长为8D.ABF1是直角三角形12.数学中一般用mina,b表示a，b中的较小值，maxa,b表示a，b中的较大值；关于函数：fxminsinx3cosx,sinx3cosx；gxmaxsinx3cosx,sinx3cosx，有如下四个命题，其中是真命题的是（）A.fx与gx的最小正周期均为3B.fx与gx的图象均关于直线x对称2C.fx的最大值是gx的最小值D.fx与gx的图象关于原点中心对称三、填空题（本大题共4小题，共20分）63113.x12x的展开式中常数项是_________．(用数字作答)x214.接种流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某学校的学生接种了流感疫苗，已知在流感高发时511期，未接种疫苗的感染率为，而接种了疫苗的感染率为.现有一名学生确诊了流感，则该名学生未接410种疫苗的概率为___________22xy222215.已知双曲线1a0，b0的左、右焦点分别为F1、F2，圆xyab与双曲线在a2b2310第一象限的交点为P，且sinPFF，则该双曲线的离心率为_________．211016.已知O为ABC的外心，BC6,BOAC4，当C最大时，AB边上的中线长为_________．三、解答题（共6小题，第17题满分10分，其它各题满分12分，共70分.）17.在①2ab2ccosB，②sinAsinCacbsinAsinB，③1ScasinAbsinBcsinC这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．△ABC2问题：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．（1）求角C；（2）若c2，求2ab的取值范围．18.为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以3:0或3:1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以3:2取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为p0p1.（1）比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？（2）第10轮比赛中，记张三3:1取胜的概率为fp.①求出fp的最大值点p0；p②若以p0作为的值，这轮比赛张三所得积分为X，求X的分布列及期望.m19.（1）已知：有理数都能表示成（m,nZ，且n0，m与n互质）的形式，进而有理数集nmQ|m,nZ，且n0，m与n互质．n证明：（i）1.573是有理数．（ii）5是无理数．2an3bnba*b5n（2）已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：n122，nN．设n1，anbnan*nN，且{an}是等比数列，求a1和b1的值．7320.如图，已知四棱台ABCDA1B1C1D1的体积为，且满足DC//AB，16BCBA,AA1A1B1BB1BCCD1,AB2,E为棱AB上的一点，且C1E//平面ADD1A1.（1）设该棱台的高为h，求证：hA1E；（2）求直线C1E与平面BCC1B1所成角的正弦值.y2x221.如图，在平面直角坐标系xoy中，双曲线1a0,b0的上下焦点分别为a2b2eF1(0,c),F20,c．已知点e,5和0,2都在双曲线上，其中为双曲线的离心率．（1）求双曲线的方程；y（2）设A,B是双曲线上位于轴右方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．（I）若AF1BF222，求直线AF1的斜率；（II）求证：PF1PF2是定值．22.已知函数fxxasinx（xa）.（1）若fx0恒成立，求a的取值范围；11（2）若a，证明：fx在0,有唯一的极值点x，且fx0x0.422x0中山市第一中学2023~2024学年第一学期高三年级第五次统测数学本试卷共5页，共150分，考试时长120分钟.一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）xN2x331.集合的真子集个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】求出不等式的解集，用列举法表示出集合即求解.【详解】不等式|2x3|332x33，解得0x3，因此{xN||2x3|3}{xN|0x3}{1,2}，所以集合{xN||2x3|3}的真子集个数为3.故选：B2.复数z满足(1i)z2i，其中i为虚数单位，则（）A.z2z20B.zz0C.zz0D.z2z20【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出复数z，再逐项计算判断即得.2i2i(1i)22i【详解】由(1i)z2i，得z1i，，1i(1i)(1i)2z1i2对于A，z2z(1i)2(1i)22i2i0，A正确；对于B，zz(1i)(1i)2，B错误；对于C，zz(1i)(1i)2i，C错误；2对于D，z2z(1i)2(1i)22i2i4i，D错误.故选：A3.正三角形ABC中，AB2，P为BC上的靠近B的四等分点，D为BC的中点，则APBD（）1133A.B.C.D.2442【答案】A【解析】1311【分析】根据题意，由平面向量基本定理可得APACAB，BDACAB，再由平面向量4422的数量积运算，代入计算，即可得到结果.【详解】因为P为BC上的靠近B的四等分点，1113则APABBPABBCABACABACAB，4444且D为BC的中点，111则BDBCACAB，222又ABC为等边三角形，且AB2，1311则APBDACABACAB442212132ACABACAB848121322ABACcos602848111122.422故选：A4.过点(0,4)与圆x2y24x10相切的两条直线的夹角（锐角）为，则cos（）31516A.B.C.D.2424【答案】C【解析】【分析】根据圆方程可得圆心C为C2,0，半径r5，再由点(0,4)与圆心的距离可求得60，1即可知cos.22【详解】将圆x2y24x10化为标准方程可得x2y25，即圆心C为C2,0，半径r5；如下图所示：又D(0,4)，易知CD224225,AC5，AC51所以可得sin，又为锐角，可知60；2CD2521可得cos.2故选：C5.各项均为正数的等比数列an中，a2,a42,a5成等差数列，a12,Sn是an的前n项和，则S10S4（）A.1008B.2016C.2032D.4032【答案】B【解析】【分析】根据等差中项可得2a42a2a5，结合等比数列通项公式可得q=2，再利用等比数列求和公式运算求解.【详解】设等比数列an的公比为q0，因为a2,a42,a5成等差数列，则2a42a2a5，343且a12，则22q22q2qq2q2，又因为q0，则2q320，可得q=2，212102124所以SS2016.1041212故选：B.6.在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛Alberobello，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个Trullo的屋顶，得其母线长为6m，屋顶的表面积为12πm2(即圆锥的侧面积)．若从该屋顶底面圆周一点A绕屋顶侧面一周至过A的母线的中点，安装灯光带，则该灯光带的最短长度为（）A.33mB.35mC.37mD.6m【答案】C【解析】2【分析】画出图形，根据圆锥的表面积求出侧面展开图顶角ÐASB=π，再由余弦定理求出AB=37.131【详解】设圆锥的底面半径为r，侧面展开图如图所示，由图可知B为SA的中点，A1B为所求长度的最小值，由于母线长为6m，