重庆市乌江新高考协作体2024届高三上学期高考第一次联合调研抽测数学试题（解析版）

2023-2024学年高考第一次联合调研抽测高三数学试题（分数：150分，时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件求解即可.【详解】因为，而推不出，例如满足，但不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A2.已知复数满足：，则的最大值为（）A.2 B.C. D.3【答案】B【解析】【分析】利用复数的几何意义，将问题转化为圆上一点到定点的距离，计算即可.【详解】设，其中，则，∵，∴，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，∴即为圆上动点到定点的距离，∴的最大值为.故选：B.3.大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】由结合对数运算可求得的值，由于，可得出、，结合对数函数的单调性可出结论.【详解】由题意，得，则，因此，，则，，则.故选：A.4.函数的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把函数化成的形式，利用公式求函数的最小正周期.【详解】因为.所以，函数的最小正周期为：.故选：B5.过直线上一点P作圆的两条切线PA，PB，若，则点P的横坐标为（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令已知圆的圆心，由题设易知四边形为正方形且边长为，进而求得直线与直线夹角余弦值为，根据直线所过点并设，应用向量夹角坐标表示列方程求P的横坐标.【详解】由题设，已知圆的圆心，四边形为正方形且边长为，所以，而到直线的距离，如下图，令直线与直线夹角为，则，又直线过，令，则，所以，则.故选：D6.已知函数满足：，，成立，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，求出，令，求出，令，求出，再令，可求出的关系，再利用累加法结合等差数列前项和公式即可得解.【详解】令，则，所以，令，则，所以，令，则，所以，令，则，所以，则当时，，则，当时，上式也成立，所以，所以.故选：C.7.已知双曲线()的左､右焦点分别为为双曲线上的一点，为的内心，且，则的离心率为（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】延长到且，延长到且，结合向量的线性关系知是的重心，根据重心和内心的性质，进而得到，由双曲线定义得到齐次方程，即可求离心率.【详解】如下图示，延长到且，延长到且，所以，即，故是△的重心，即，又，所以，而是的内心，则，由，则，故，即.故选：D【点睛】关键点睛：利用向量的线性关系构造重心，结合重心和内心的性质得到，再根据双曲线定义得到双曲线参数的齐次方程.8.已知点是双曲线上位于第一象限内的一点，分别为的左､右焦点，的离心率和实轴长都为2，过点的直线交轴于点，交轴于点，过作直线的垂线，垂足为，则下列说法错误的是（）A.的方程为B.点的坐标为C.的长度为1，其中为坐标原点D.四边形面积的最小值为【答案】B【解析】【分析】对A，根据条件列式计算可得解；对B，求出直线的方程，令，求得其与轴的交点可判断；对C，求出直线的方程与直线的方程联立解得点的坐标，并求出可判断；对D，四边形的面积利用基本不等式求解判断.【详解】对于A，因为，解得，所以其方程为，故A正确；对于B，，所以的方程为，所以令得直线交轴于点，故B错误；对于C，直线的方程为，与直线的方程联立解得，所以，故C正确；对于D，四边形的面积为，当且仅当时等号成立，故D正确.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9.有款小游戏，规则如下：一小球从数轴上的原点0出发，通过扔骰子决定向左或者向右移动，扔出骰子，若是奇数点向上，则向左移动一个单位，若是偶数点向上，则向右移动一个单位，则扔出次骰子后，下列结论正确的是（）A.第二次扔骰子后，小球位于原点0的概率为B.第三次扔骰子后，小球所在位置是个随机变量，则这个随机变量的期望是C.第一次扔完骰子小球位于且第五次位于1的概率D.第五次扔完骰子，小球位于1概率大于小球位于3概率【答案】AD【解析】【分析】计算出小球每次向左向右的概率后，结合概率公式与期望算法逐个计算即可得.【详解】扔出骰子，奇数点向上的概率为，偶数点向上的概率亦为；对A：若两次运动后，小球位于原点，小球在两次运动之中一定一次向左一次向右，故其概率为，故A正确；对B，设这个随机变量为，则的可能取值为、、、，其中，，故其期望，故B错误；对C：第一次扔完骰子小球位于，即第一次向右移动，且第五次位于1，则后续中小球向右3次，向左1次，故其概率为，故C错误；对D：第五次扔完骰子，小球位于1，即两次向左，三次向右，故其概率，小球位于3，则四次向右，一次向左，故其概率，有，故D正确.故选：AD.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数值域为B.函数是增函数C.不等式的解集为D.【答案】ACD【解析】【分析】对于A，令，利用换元法和对数函数的性质即可求得；对于B，令由复合函数的单调性进行判断即可；对于C，利用函数的奇偶性和单调性进行解不等式；对于D，由即可求解.【详解】对于A，令，又因为在上递增，所以，由对数函数的性质可得，的值域为R，故A正确；对于B，因为在上递增，在上递减，由复合函数的单调性可知，为减函数，故B错误；对于C，因为的定义域为，且,，所以为奇函数，且在上为减函数，不等式等价于即，等价于，解得，故C正确；对于D，因为且，所以，故D正确.故选：ACD.11.将函数的图象上的每一点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（）A.的图象关于直线对称 B.的图象关于点对称C.的图象关于直线对称 D.的图象关于点对称【答案】BC【解析】【分析】利用给定变换求出函数的解析式，再逐项分析判断作答.【详解】依题意可得，A，当时，，则不为对称轴，A错误；B，当时，，则为对称中心，B正确；C，当时，，则为对称轴，C正确；D，当时，，则不是对称中心，D错误；故选：BC12.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为底面内的一动点（含边界），则下列说法正确的是（）A.过点，，的平面截正方体所得的截面周长为B.存在点，使得平面C.若平面，则动点的轨迹长度为D.当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为【答案】ACD【解析】【分析】取的中点，然后证明截面为，求出周长即可判断A；假设存在点F，根据，分别判断点F位置即可得到矛盾，B错误；根据平面平面即可确定动点的轨迹，可判断C；由AC判断点F位置，然后建立空间直角坐标系，利用空间两点距离公式确定球心位置，然后可判断D.【详解】A选项，如图，取的中点，连接，因为为的中点，所以，，所以过点，，的平面截正方体所得的截面为梯形，其周长为，故A选项正确；B选项，假设存在点，使得平面，则，得只能在线段上，再由，得只能在线段上，即与重合，不符合题意，故B选项错误；C选项，如图，取的中点M，的中点，连接，，，可得，，又平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，又，所以平面平面，所以动点的轨迹为线段，其长度为，故C选项正确；D选项，由A，C选项可得，平面平面，所以当在点时，到平面的距离最大，此时为等边三角形，因为平面，所以三棱锥的外接球球心一定在直线上，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，由得，，解得，所以，所以三棱锥外接球的表面积为，故D选项正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设非空集合满足，，则这样的的个数为________．【答案】【解析】【分析】利用非空集合子集的个数计算公式可求满足条件的的个数.【详解】由题设可得，这5组中的每一组中的元素必定同时出现在集合中，故这样的非空集合的个数为，故答案为：14.已知函数在区间上单调递增,那么实数ω的取值范围是____.【答案】【解析】【分析】化简函数的解析式，根据题中条件可得，，继而解得的值，进一步计算即可.【详解】因为，由且，知，因为函数在区间上单调递增,则,其中,所以其中,解得，其中,由，得，又，所以或，因为,所以当时,;当时,，所以实数ω的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题的关键点睛是求出右边界的范围，再根据余弦函数的单调性得到不等式组，解出的范围，再对合理赋值即可.15.若关于的不等式的解集为，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后都表示成的形式即可.【详解】因为不等式的解集为，所以二次函数的对称轴为直线，且需满足，即，解得，所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用同一个变量来表示求解.16.已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，且的周长为，则直线的斜率为________．【答案】##【解析】【分析】由平行关系得出对应线段成比例，结合椭圆定义，表示出长度，利用余弦定理求出，得出结果.【详解】因为椭圆：的离心率为，则，又因，即，则，可得，所以，①又因为，可得，②又因为，③由①②③知，，在中，由余弦定理可得，可得为锐角，则，所以，即的斜率为．故答案为：.【点睛】方法点睛：1．椭圆离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．2．焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某区域市场中智能终端产品的制造全部由甲､乙两公司提供技术支持．据市场调研及预测，商用初期，该区域市场中采用的甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为和，不考虑其他因素的影响．（1）用表示，并求使数列是等比数列的实数．（2）经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到以上？若能，则至少需要经过几次技术更新；若不能，请说明理由．【答案】（1）；；（2）经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比不会达到以上，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据条件得到数列的递推关系，利用数列是等比数列，求的值；（2）首先由（1）得数列的通项公式，再求出的范围判断不等式是否有解.【小问1详解】由题意知，经过次技术更新后，，则，即．设，则，令，解得．又，所以当时，是以为首项，为公比的等比数列．【小问2详解】由（1）可知，则，．所以经过次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比为．对于任意，所以，即经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比不会达到以上．【点睛】关键点睛：本题的关键是得到数列的递推关系，根据题意有代入消去得到递推关系.18.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.（1）求角C；（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理化边为角化简即得三角