2024届重庆市缙云教育联盟高三第一次诊断性检测数学试卷

2024CEE-01数学重庆缙云教育联盟2024年高考第一次诊断性检测数学试卷考生须知：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．，则的共轭复数等于（     ）A． B． C． D．3．已知函数满足：，，成立，且，则（    ）A． B． C． D．4．已知是两条不同直线，是三个不同平面，则下列说法正确的是（    ）A．则 B．则C．则 D．则5．已知，，则（   ）A． B． C． D．6．已知函数，则方程在区间上的所有实根之和为（    ）A．0 B．3 C．6 D．127．已知，，，，，则的最大值为（    ）A． B．4 C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的，少选择1个正确选项得3分，少选择2个正确选项得1分，否则得0分。8．已知，则下列说法正确的是（    ）A． B．C． D．E．a5=169．已知为坐标原点，抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两个不同的点，为线段AB的中点，则（    ）A．若，则到准线距离的最小值为3B．若，且，则到准线的距离为C．若，且，则到准线的距离为72D．若AB过焦点，，为直线AB左侧抛物线上一点，则△ABC面积的最大值为E．若，则到直线AB距离的最大值为410．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（    ）A．函数为偶函数B．函数的值域是C．对于任意的，都有D．在图象上不存在不同的三个点，使得△ABC为等边三角形E．在图象存在不同的三个点，使得△ABC为等边三角形三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。11．已知为圆：上一点，则的取值范围是.12．已知二项式的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45，则展开式的常数项为．13．椭圆上的点P到直线的最大距离是；距离最大时点P坐标为.14．我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nào）”的几何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖臑”的个数是.四、解答题：本题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（10分）记△ABC的内角的对边分别为.已知．(1)求；(2)若为的中点，且，求．16．（10分）已知正项数列的前n项和为，且．(1)求证：(2)在与间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列?若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．17．（15分）已知函数（a为常数）.(1)求函数的单调区间；(2)若存在两个不相等的正数，满足，求证：.(3)若有两个零点，，证明：.18．（15分）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，设的面积为，内切圆半径为，当时，记顶点的轨迹为曲线．(1)求的方程；(2)已知点，，，在上，且直线与相交于点，记，的斜率分别为，．(i)设的中点为，的中点为，证明：存在唯一常数，使得当时，；(ii)若，当最大时，求四边形的面积．19．（15分）某工厂引进新的生产设备，为对其进行评估，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.(1)为评估设备对原材料的利用情况，需要研究零件中某材料含量和原料中的该材料含量之间的相关关系，现取了8对观测值，求与的线性回归方程.(2)为评判设备生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）；①；②；③.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.(3)将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品．从样本中随意抽取2件零件，再从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数的数学期望.附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，；②参考数据：，，，.20．（15分）本题分为Ⅰ、Ⅱ两部分，考生选其中一部分作答.若多选，则按照第Ⅰ部分积分.Ⅰ.把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱中底面长轴，短轴长为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，为上的动点，为上的动点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合）．(1)求证：当为的中点时，平面(2)若点是下底面椭圆上的动点，是点在上底面的投影，且与下底面所成的角分别为，试求出的取值范围．(3)求三棱锥的体积的最大值．Ⅱ.如图1，已知，，，，，.(1)求将六边形绕轴旋转半周（等同于四边形绕轴旋转一周）所围成的几何体的体积；(2)将平面绕旋转到平面，使得平面平面，求异面直线与所成的角；(3)某“”可以近似看成，将图1中的线段、改成同一圆周上的一段圆弧，如图2，将其绕轴旋转半周所得的几何体，试求所得几何体的体积.