西安中学2023-2024学年度第一学期期末考试高三数学（理科）试题

西安中学2023-2024学年度第一学期期末考试小二黑体高三数学（理科）试题（时间：120分钟满分：150分）命题人：李珍一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数满足，则（    ）A． B．2C．D．32.已知集合，，，则（    ）．A． B．C．D．3.向量，且，则（    ）A．2 B．1C．0D．若实数x，y满足约束条件，则的取值范围为（    ）A． B．C． D．5.设，则“”是“”的（    ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6.塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达200~400年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委、生态环境部等9部门联合发布《关于扎实推进污染物治理工作的通知》明确指出，2021年1月1日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为，其中为初始量，为光解系数.已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的.该品牌塑料袋大约需要经过（    ）年，其残留量为初始量的10%.（参考数据：，）A．20B．16 C．12 D．77.若，则（    ）A． B． C． D．8.已知正三棱锥的侧棱，，两两垂直，且，以为球心的球与底面相切，则该球的半径为（    ）A． B． C． D．9.关于函数有下述四个结论，其中结论错误的是（    ）A． B．的图象关于直线对称C．的图象关于对称 D．在上单调递增10.高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（    ）A．2026 B．2025 C．2024 D．202311.设，，，则下列正确的是（    ）A． B． C． D．12.已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交抛物线于两点，其中正确结论的个数有（    ）①抛物线的准线方程为 ②直线与抛物线相切③为定值5 ④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知等差数列的前5项和，且满足，则等差数列的公差为 ．14.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，圆C与圆外切，写出一个圆C的标准方程：．15.在边长为2的正三角形中，D是的中点，，交于F．则．16.已知函数的定义域为，其最小值为2．点是函数图象上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为．其中为坐标原点．给出下列四个结论：①； ②不存在点，使得；③的值恒为；  ④四边形面积的最小值为．其中，所有正确结论的序号是．解答题：本大题共7小题，第17—21题为必考题，第22、23题为选考题）必考题：共60分17.（本小题满分12分）造林绿化对生态发展特别是在防风固沙、缓解温室效应、净化空气、涵养水源等方面有着重要意义．某苗木培养基地为了对某种树苗的高度偏差x（单位：）与树干最大直径偏差y（单位：）之间的关系进行分析，随机挑选了8株该品种的树苗，得到它们的偏差数据（偏差是指个别测定值与测定的平均值之差）如下：树苗序号12345678高度偏差x20151332直径偏差y6.53.53.51.50.5(1)若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；(2)若这种树苗的平均高度为，树干最大直径平均为，试由（1）的结论预测高度为的这种树苗的树干最大直径为多少毫米．参考数据：，．参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计：，．18.（本小题满分12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．(1)求角A的大小；(2)若，△ABC的面积为，求的值．19.（本小题满分12分）设椭圆的离心率为，圆与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为.（1）求椭圆C的方程；（2）过圆O上任意一点作圆的的切线交椭圆C于点M，N，求证：以MN为直径的圆过点O.20.（本小题满分12分）如图1所示，在四棱锥中，四边形为梯形，，，平面平面．(1)若的中点为，求证：平面；(2)求二面角的正弦值．图121.（本小题满分12分）已知，.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)当时，若关于的方程存在两个正实数根，证明:且.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)写出的普通方程和的直角坐标方程；(2)设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.23.（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲]设函数.(1)作出函数的图象，并求的值域；(2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.