天津市八校联考2023-2024学年高三上学期期末质量调查数学答案

2024年天津市八所重点学校高三毕业班联考数学试卷评分标准一．选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．1.B2．B3．C4.A5.C6.D7.A8．A9.B二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分．10.211.1012．，（四个答案写出其中一个即可）3±3±313．正，0.9914．3，15．21213三.解答题(本大题5小题，共75分2．解答应写出文−字∞说,0明]∪，证3,明+过∞程∪或演�算步骤．)16.（本小题满分14分）（1）解：法一：由c2b2acosC0，根据正弦定理有sinC2sinB2sinAcosC0，..............1分因为sinBsin(AC)，所以sinC2sin(AC)2sinAcosCsinC2sinAcosC2cosAsinC2sinAcosC0整理得sinC2cosAsinC0，..............2分1因为sinC0，所以cosA因为A(0,)，所以A..............4分23法二：a2b2c2由c2b2acosC0，根据余弦定理有c2b2a0..............1分2ab整理得bc2b2a2b2c20，即b2c2a2bc.............2分b2c2a2bc1cosA，因为A(0,)，所以A..............4分2bc2bc23（2）因为a3由（）知A63,c=2,16ac326（ⅰ）由正弦定理，，sinC..............5分sinAsinC3sinC4210又因为ca，所以C为锐角，cosC..............6分4数学答案第1页共10页{#{QQABZYQEggggQBIAARgCUQVICgEQkAECCIoOBAAIoAAAQRFABCA=}#}1521所以sin2C2sinCcosC，cos2C12sinC..............8分4415113153所以sin(2CA)sin2CcosAcos2CsinA.......10分4242810（ⅱ）法一：由c2b2acosC0，将a3，，cosC代入，64630c=2解得b，..............12分411630633315SabsinC3..............14分ABC224416法二：sinBsin(CA)61103630sinBsinCcosAcosCsinA..............12分4242811663033315SacsinB3...............14分ABC22281617.（本小题满分15分）（1）证明：法一：取CD的中点M，连接EM1因为AB∥CD，AB＝CD，所以AB∥DM，且AB=DM,2所以四边形ADMB为平行四边形，所以AD∥BM，且ADBM，..............2分又因为四边形为正方形，ADEF=所以EF∥BM，且EF=BM，所以四边形FEMB为平行四边形，..............3分所以BF∥，又因为BF面CDE，EM面CDE..............4分所以BEFM∥平面CDE法二：.因为AB∥CD，AB面CDE，CD面CDE，所以AB∥平面CDE，..............2分同理，AF∥平面CDE，又AB∩AF＝A，所以平面ABF∥平面CDE，.............3分因为BF⊂平面ABF，..............4分所以BF∥平面CDE.数学答案第2页共10页{#{QQABZYQEggggQBIAARgCUQVICgEQkAECCIoOBAAIoAAAQRFABCA=}#}(2)因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，z所以CD⊥平面ADEF，又DE⊂平面ADEF，故CD⊥ED.P而四边形ADEF是正方形，所以⊥，又CD⊥AD，以为原点，DA，ADDC，DDEE所在直线分y别为x轴、y轴、Dz轴，建立空间直角坐标系xDxyz..............5分.1AD＝1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，F(1,0,1)，C(0，2,0)，E(0，0,1)，P(0，1,)21DP(0,1,)..............6分2设平面BDF的法向量为n＝(x，y，z)，→n·DB＝0，x＋y＝0，则即→n·DF＝0，x＋z＝0，令x＝1，则y＝z＝－1，所以n＝(1，－1，－1)．............8分设直线DP与平面BDF所成角的大小为，..............9分DPn则sin＝|cos〈DP，n〉|＝＝..............11分DPn155所以直线DP与平面BDF所成角的正弦值为.(设角或答话写一个即可)15→5(3)取平面CDE的一个法向量DA＝(1,0,0)，..............12分设平面BDF与平面CDE夹角的大小为θ，..............13分→DAn3则cosθ＝|cos〈DA，n〉|＝＝...............15分DAn33所以平面BDF与平面CDE夹角的余弦值是.(设角或答话写一个即可)3数学答案第3页共10页{#{QQABZYQEggggQBIAARgCUQVICgEQkAECCIoOBAAIoAAAQRFABCA=}#}18.（本小题满分15分）解：(1)由题意可得1�−�=4·2�……1分∴椭2圆�的=离3�心率为……2分�2(2)�=�=3(i)由(1)可知,292252�=4��=4�3∴�(−�,0)设椭圆方2程为……分2234�4�22法一：9�+5�=1由题意可知直线PQ的斜率显然不为0设直线PQ方程为：,,联立�=�，�+��(�1,�1)�(�2,�2)22220�+36�=45�消去整理得……分�=��+�4由题意知0恒成2立22�(20�+36)�+40���−25�=0则，……分25−10��−25�22�1+�2=5�+9�1�2=20�+36则……分26115515�+1222令S△APQ=2AF，2则·�1−�2=2·2�·�1+�2−4�1�2=4�·5�+924�=�+1�≥1，因为y5t在1,上单调递增，752�7521t△APQ24∴当S时=，4�·5�+有4最=大4值�·5�+��=1S△APQ752125S△APQ���=�·=……8分45+432b=∴�=4∴椭�圆=方2程,�为=：3,5……分229��法二：当直线9PQ+的5斜=率1存在时，由题知，k0此时，设PQ：yk(xc)20x236y245c2联立，得(2036k2)x272k2cx36k2c245c20……4分yk(xc)数学答案第4页共10页{#{QQABZYQEggggQBIAARgCUQVICgEQkAECCIoOBAAIoAAAQRFABCA=}#}设由题意知恒成立P(x1,y1),Q(x2,y2)，072k2c36k2c245c2x1x2，x1x2……5分2036k22036k211552SAFyyckxkxck(xx)4xxAPQ221222124121212222212572kc236kc45c7521k752kck()4ckc(k0)222542036k2036k459k49k2……6分175c2t75c2t75c21令t11，S2APQ224k45(t1)945t445tt4因为y5t在1,上单调递增，t475c2175c2125c25t9(t1)，S……7分APQ4t45t4912t4x24y2当直线PQ的斜率不存在时，此时PQ：xc，代入1中，9c25c25c1155252得PQ，SAFPQccc，……8分3APQ22223122525所以APQ面积的最大值为c2，c24123x2y2椭圆方程为1……9分95(ii)法一：由（i）知，，�(−3,0)�2(2,0)�1�2∴���=�1+3���=�2+3直线的方程为：，直线的方程为：�1�2∴���=�1+3·(�+3)���=�2+3·(�+3)，……11分315�1315�2∴�(4,4(�1+3))�(4,4(�2+3))数学答案第5页共10页{#{QQABZYQEggggQBIAARgCUQVICgEQkAECCIoOBAAIoAAAQRFABCA=}#}，……12分515�1515�2∴�2�=(−4,4(�1+3))�2�=(−4,4(�2+3))由2，得，，−20�−2522�=�1+�2=5�+9�1�2=5�+9�=��+225225�1�2∴�2�·�2�=+·1616(�1+3)(�2+3)25225�1�2=+·1616(��1+5)(��2+5)25225�1�2=+·21616��1�2+5�(�1+�2)+2525225�1�2=+·2−25−20�1616�·2+5�·2+255�+95�+9……14分252251=16+16·−9=0以MN为直径的圆恒过右焦点.……15分∴�2�⊥�2�∴法二：由（i）知，255当直线PQ的斜率�不(存−3在,0时)，�有(2P,(02),),Q(2,)33133535直线AP:yx1，令x，得M(,)，同理N(,)3444445555此时F2MF2N,,0……10分4444当直线PQ的斜率存在时，yk(x2)，�1�2∴���=�1+3���=�2+3直线的方程为：，直线的方程为：�1�2∴���=�1+3·(�+3)���=�2+3·(�+3)，……11分315�1315�2∴�(4,4(�1+3))�(4,4(�2+3))，……12分515�1515�2∴�2�=(−4,4(�1+3))�2�=(−4,4(�2+3))数学答案第6页共10页{#{QQABZYQEggggQBIAARgCUQVICgEQkAECCIoOBAAIoAAAQRFABCA=}#}36k236k245由2，x1x2，x1x259k259k2�=25225k2(x2)(x2)1225225�1�21616(x13)(x23)∴�2�·�2�=16+16·(�1+3)(�2+3)36k24536k2k2[24]25225k2[xx2(xx)4]2522522121259k59k1616xx3(xx)9161636k24536k212123959k259k225225k2[36k24572k22036k2]2522525k20……14分161636k245108k24581k21616225k2以MN为直径的圆恒过右焦点.……15分∴�2�⊥�2�∴19.（本小题满分15分）解：(1)设数列an首项a12公比qq0，设数列bn首项b11公差da4a4253a1q4a1q,，……1分a2b4a1qb13dq2,q2舍,d1nan2.bnn……3分222222222222(2)T4nb1b2b3b4b5b6b7b8b4n3b4n2b4n1b4n22222222b4n3b4