山西省太原市2023-2024学年高三上学期期末学业诊断数学试题

2023~2024学年第一学期高三年级期末学业诊断数学试卷（考试时间：上午8:00—10:00）说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分。一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（）A. B. C. D.3.圆的圆心坐标为（）A. B. C. D.4.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州等城市成功举办.杭州亚运会期间，甲、乙等4名志愿者要到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法种数为（）A.18 B.24 C.32 D.365.已知，，且，，则（）A. B. C. D.6.如图是函数的部分图象，则的解析式为（）A. B.C. D.7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上异于长轴端点的任意一点，的角平分线交线段于点，则（）A. B. C. D.8.若实数，，满足，，，则（）A. B. C. D.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知数列中，，，数列的前项和为，则下列结论正确的是（）A.是等比数列 B.C. D.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.B.的图象关于点对称C.在区间上单调递增D.将的图象先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称11.已知函数，若方程有四个不同的实数解，，，，且满足，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.12.在棱长为1的正方体中，为线段的中点，点和分别满足，，其中，，则下列结论正确的是（）A.当时，三棱锥的体积为定值B.当时，四棱锥的外接球的表面积是C.当时，不存在使得D.的最小值为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.双曲线的渐近线方程为______.14.的展开式中常数项为______.15.已知非零向量，夹角为，则的最小值为______.16.已知实数，分别满足，，其中是自然对数的底数，则______.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题10分）已知在等差数列中，，，是数列的前项和，且满足.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18.（本小题12分）在中，，，分别为内角，，的对边，点在线段上，，，的面积为.（1）当，且时，求；（2）当，且时，求的周长.19.（本小题12分）“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，即其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥中，四边形是边长为3的正方形，，，.（1）证明：四棱锥是一个“阳马”；（2）已知点在线段上，且，若二面角的余弦值为，求直线与底面所成角的正切值.20.（本小题12分）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为.（1）求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；（2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为，（i）证明：为等比数列；（ii）证明：当时，.21.（本小题12分）已知抛物线的准线与轴相交于点，过抛物线焦点的直线与相交于，两点，面积的最小值为4.（1）求抛物线的方程；（2）若过点的动直线交于，两点，试问抛物线上是否存在定点，使得对任意的直线，都有.若存在，求出点的坐标；若不存在，则说明理由.22.（本小题12分）已知函数，.（1）当时，求的最小值；（2）当时，不等式恒成立，求实数取得的最大整数值.2023-2024学年第一学期高三年级期末学业诊断数学试卷参考答案及评分标准一.单项选择题：C B A B C C A A二.多项选择题：9.BD 10.AC 11.ACD 12.ABD三.填空题：13. 14.25 15. 16.四.解答题：17.解：（1）设的公差为，由题意得；当时，则，，当时，则，，，是以1为首项，3为公比的等比数列，；（2）由（1）得，，①，②①－②得，.18.解：（1）由题意得，，，，，，，，；（2）由题意得，，，，，，，，，，，，，的周长为.19.（1）证明：四边形是正方形，，，，平面，，同理可证，，平面，四棱锥是一个“阳马”；（2）由（1）得平面，，，，，以点为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得，，，，，，，设是平面的一个法向量，则令，则，，设是平面的一个法向量，则令，则，，，，，，平面，直线与底面所成角的正切值为.20.解：（1）设“第天选择米饭套餐”，则“第天选择面食套餐”，根据题意，，号，，由全概率公式，得；（2）（i）设“第天选择米饭套餐”，则，，，，由全概率公式，得，即，，，是以为首项，为公比的等比数列；（ii）由（i）可得，当为大于1的奇数时，；当为正偶数时，.21.解：（1）由题意得，，设直线的方程为，，，由得，，，，面积，当时，取最小值，，抛物线的方程为；（2）由（1）得抛物线，假设存在定点，设直线的方程为，，，则，，由得，，，，，，，，当时，即时，恒成立，存在定点.22.解：（1）当时，，，则，令，则；令，则，在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值；（2）①当时，则，显然成立；②当时，原不等式等价于，令，，则，令，，则，在上单调递增，，，，，即，，当时，，，在上单调递减，当时，，，在上单调递增，在处取得最小值为，，且，综上，实数的最大整数值为3.注：以上各题其它解法请酌情赋分.