贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高三上学期高考适应性月考（五）数学试卷

数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则中的元素个数为（）A.3 B.4 C.5 D.62.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知平面向量，均为单位向量，且它们的夹角为，则（）A.7 B.3 C. D.14.自1972年慕尼黑奥运会将射箭运动重新列入奥运会项目以来，这项运动逐渐受到越来越多年轻人的喜爱.已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（）A. B. C. D.5.秦九韶（1208年~1268年），字道古，祖籍鲁郡（今河南省范县），出生于普州（今四川安岳县）.南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家.1247年秦九韶完成了著作《数书九章》，其中的大衍求一术（一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理）、三斜求积术和秦九韶算法（高次方程正根的数值求法）是有世界意义的重要贡献.设的三个内角，，所对的边分别为，，，面积为，秦九韶提出的“三斜求积术”公式为，若，，则由“三斜求积术”公式可得的面积为（）A. B. C. D.16.中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，这些古建筑除了历史背景方面的研究价值外，还有着几何结构的研究意义.例如古建筑屋顶的结构形式就分为：圆锥形、三角锥形、四角锥形、八角锥形等，已知某古建筑的屋顶可近似看作一个圆锥，其母线长，底面的半径为，则该屋顶的体积约为（）A. B. C. D.7.已知等比数列中所有项均为正数，，若，则的最小值为（）A. B. C. D.8.已知直线过双曲线的左焦点，且与双曲线的左支交于，两点，并满足，点与点关于原点对称，若，则双曲线的离心率（）A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称，当时，，则（）A. B.C. D.10.已知圆上的两个动点，始终满足，直线与轴交于点（，，三点不共线），则（）A.直线与圆恒有交点 B.C.的面积的最大值为 D.被圆截得的弦长最小值为11.已知正方体的棱长为1，点，分别为线段，的中点，点满足，点为棱（包含端点）上的动点，则下列说法正确的是（）A.平面截正方体得到的截面多边形是矩形B.二面角的大小为C.存在，使得平面平面D.若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为12.已知函数的图象与直线有三个交点，记三个交点的横坐标分别为，，，且，则下列说法正确的是（）A.存在实数，使得B.C.D.为定值三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.的二项展开式中，项的系数为______.14.“圆锥容球”是指圆锥形容器里放了一个球，且球与圆锥的侧面及底面均相切（即圆锥的内切球）.已知某圆锥形容器的母线与底面所成的角为，底面半径为2，则该圆锥内切球的表面积为______.（容器壁的厚度忽略不计）15.《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，已知“鳖臑”中，平面，，，，则“鳖臑”外接球体积的最小值为______.16.已知平面向量，，，满足：，，，，设向量（，为实数），则的取值范围为______.四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知函数的最小正周期为.（1）求的值，并写出的对称轴方程；（2）在中，角，，的对边分别是，，，且满足，求函数的取值范围.18.（本小题满分12分）已知数列为等差数列，，且.（1）求；（2）记为数列的前项和，求.19.（本小题满分12分）某校高三年级嘟嘟老师准备利用高中数学知识对甲、乙、丙三名学生在即将到来的全省适应性考试成绩进行预测，为此，他收集了三位同学近三个月的数学月考、周测成绩（满分150分），若考试成绩超过100分则称为“破百”.甲：74，85，81，90，103，89，92，97，109，95；乙：95，92，97，99，89，103，105，108，101，113；丙：92，102，97，105，89，94，92，97.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三名同学的考试成绩相互独立.（1）分别估计甲、乙、丙三名同学“破百”的概率；（2）设这甲、乙、丙三名同学在这次决赛上“破百”的人数为，求的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，，，为的中点，平面平面.（1）证明：平面；（2）若，二面角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.21.（本小题满分12分）已知椭圆的左焦点为，上顶点为，离心率为，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过且斜率为的直线与椭圆交于，两点，椭圆的左、右顶点分别为，，证明：直线与的交点在定直线上.22.（本小题满分12分）已知函数，.（1）若，求函数的值域；（2）是否存在正整数，使得恒成立？若存在，求出正整数的取值集合；若不存在，请说明理由.贵阳第一中学2024届高考适应性月考卷（五）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案CDDDBAAC【解析】1.，，共5个元素，故选C.2.因为，则在复平面内对应的点位于第四象限，故选D.3.，所以，故选D.4.记“甲射中10环”为事件，“乙射中10环”为事件，，甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为：，故选D.5.由得，，由题意得，故，故选B.6.如图所示为该圆锥轴截面，由题知该圆锥的底面半径为，高为，所以该屋顶的体积约为，故选A.7.设的公比为，则，因为，所以，解得或（舍去），，故，即，，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值等于，故选A.8.设双曲线的右焦点为，连接，，，又因为，所以四边形为矩形，设，则，由双曲线的定义可得：，，又因为为直角三角形，所以，即，解得，所以，，又因为为直角三角形，，所以，即：，所以，即，故选C.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案BDABDACDBCD【解析】9.已知函数为上的奇函数，则，即，解得，B正确；A错误；又因为，即，从而周期为8，，，.因为当时，，所以，从而，，，所以，D正确；C错误，故选BD.10.直线与轴交于点，，且在圆内部，所以与恒有公共点，A正确；因为点在圆内部，为钝角，故，B正确；到的最大距离，即到圆心的距离为1，，故C错误；被截得的弦的长度的最小时，圆心到直线的距离最大，且此距离为到圆心的距离为1，故弦长为，故D正确，故选ABD.11.由正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设，其中，对于A：连接，，，则，由正方体的性质可得点是侧面的中心，点是正方体的中心，所以连接并延长交侧面于点，则点是侧面的中心，且.设平面交于点，交于点，交于点，连接，，因为平面平面，所以，.因为，平面，所以平面，又平面，所以，所以，易知，所以，所以平面截正方体得到的截面多边形是矩形，故A正确；对于B：，，，设平面的法向量为，则，即，取，则，，故.设平面的法向量为，则，即，取，则，，故，故，而二面角为锐二面角，故其余弦值为，不为，故二面角的平面角不是，故B错误.对于C：因为点是正方体的中心，所以，，三点共线，所以平面即为平面，因为，，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，即平面平面，当时，点与点重合，平面即为平面，由此可知平面平面，即平面平面，故正确；对于D：设直线与平面所成的角为.因为平面，故为平面的法向量，而，故，而，，故D正确，故选ACD.12.由方程，可得.令，则有，即.令函数，则，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，作出图象如图所示，要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，且，或，，令，若，，则故.若，，则无解，综上，故C正确；由图结合单调性可知，故B正确；若，则，又，故A不正确；，故D正确，故选BCD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案960【解析】13.的二项展开式的通项公式为，令，得，所以项的系数为.14.作圆锥的轴截面图，如图，由图，母线与底面所成的角为，为等边三角形，又，所以，所以在正中，，设内切球球心为，则在上，且，在中，，所以，解得，所以外接球表面积.15.根据题意三棱锥可以补成分别以，，为长、宽、高的长方体，如图，其中为长方体的对角线，则三棱锥的外接球球心即为的中点，要使三棱锥的外接球的体积最小，则最小.设，则，，，所以当时，，则有三棱锥的外接球的球半径最小为，所以.16.如图所示建立坐标系，以为坐标原点，边长为2的正方形的，所在直线为轴、轴，设，，为线段上一点，则，又，以为圆心，为半径画圆，点为圆上一点，设，，，，所以，，所以，所以，它表示斜率为，纵截距为的直线，当圆心为点时，与相切且点在轴的下方时，，此时，取得最小值；当圆心为点时，经过圆心时，，此时，取得最大值，的取值范围为.四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）解：（1）.，，故，令，，解得，，故对称轴方程为：，.（2）由得，.，，，，，，，，.18.（本小题满分12分）解：（1）因为数列为等差数列，所以，，为该数列第、、项，并设公差为，因为，且，所以，解得：，所以的通项公式为：，即，所以.（2）由（1）可得：，所以，所以，即，所以，整理得：，所以数列的前项和为：.19.（本小题满分12分）解：（1）甲同学“破百”的概率为，乙同学“破百”的概率为，丙同学“破百”的概率为.（2）的可能取值为0，1，2，3，则：，，，，所以的分布列为0123所以，期望.20.（本小题满分12分）（1）证明：如图，连接与相交于点，连接，三棱柱中，侧面是平行四边形，则为的中点，又为的中点，有，平面，平面，所以平面.（2）解：平面平面，平面平面，底面为正三角形，为的中点，则，平面，则平面，，平面，，，则二面角的平面角为，有余弦值为，中，由余弦定理，即，解得，过作直线的垂线，垂足为，则，故在的延长线上，，，，，四边形为矩形，则，以为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的一个法向量为，则有，令，则，，即.，，设平面的一个法向量为，则有，令，则，，即，平面与平面夹角的余弦值为.21.（本小题满分12分）（1）解：依题意可得：.又，，故，，所以椭圆的标准方程为.（2）证明：由（1）得，所以直线的方程为，由可得，设，，显然，所以，，故.由（1）可得，，则直线的方程为，直线的方程为.设直线与的交点坐标为，则，故，解得，故直线与的交点在直线上.22.（本小题满分12分）解：（1）由题设，则，若，则，，可得，递增；若，则，，可得，递减.又，，，综上，的值域为.（2）由，，则，令，，则，且，当，（舍）；当，则，故，令，则，又，对于，有，即递增，所以，故恒成立，所以，即在上递增，又，则，所以在上递增，又，即，，符合题意；当，令，则，，所以（舍）；综上，正整数的取值集合为.