数学-2024年1月新“九省联考”考后提升卷试题+答案

2024年1月“九省联考”考后提升卷高三数学（考试时间：150分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（）．A．5，7B．6，7C．8，5D．8，72．设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）22-1A．B．C．2-1D．2223．若数列an满足2an+1=an+an+2，其前n项和为Sn，若a8=0，a16+a17=18，则S17=（）1835A．0B．18C．D．17174．已知a、b是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（）A．若m^a，n//a，则m^nB．若m^a，n^b，a//b，则m//nC．若a//b，mÌa，则m//bD．若m^n，m^a，n//b，则a^b5．在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为（）1418A．B．C．D．993272uuuruuuruuurruuuruuuruuur6．设F为抛物线y=2x的焦点，ABC，，为该抛物线上三点，若FA+FB+FC=0，则|FA+|FB|+|FC|=（）A．9B．6C．4D．3æ3πöæπö1+sin2q7．已知qÎç,π÷,tan2q=-4tançq+÷，则=（）è4øè4ø2cos2q+sin2q133A．B．C．1D．442x2y28．已知FF,分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F且与双曲线的一条渐近线平行的直线交12a2b22双曲线于点P，若PF1=4PF2，则双曲线的离心率为（）21A．7B．C．3D．213二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．æπöπ9．若函数fx=sinç2x-÷的图象向左平移个单位长度后得到函数gx的图象，则（）è8ø8A．gx的最小正周期为πB．gx是奇函数3πC．gx的图象关于直线x=对称16éπùD．gx在0,上单调递增ëê8ûú10．已知复数z=2+i，z1=x+yi（x，yÎR）（i为虚数单位），z为z的共轭复数，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为-iB．z2=|z|2|z|C．=1|z|D．若z-z1£1，则在复平面内z1对应的点形成的图形的面积为π11．已知函数fx，gx的定义域均为R，且gx=f4+x，fx+y+fx-y=gx-4fy，g-3=1，则下列说法正确的有（）A．f1=1B．fx为奇函数2026C．fx的周期为6D．åfk=-3k=1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合A=x-3£x£2,B=xx³a且ABÌ，则实数a的取值范围是．13．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为43π，则该模型中圆柱的表面积为.aæ2ö14．对于任意两个正实数a，b，定义aÄb=l×，其中常数lÎç,1÷．若u³v>0，且uÄv与vÄu都bè2øìnü是集合íx|x=，nÎZý的元素，则uÄv=．î2þ四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数fx=lnx+x2+ax+2在点2,f2处的切线与直线2x+3y=0垂直．（1）求a；（2）求函数的单调性和极值.16．（15分）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有X个红球，则分得X个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.17．（15分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，DDDC1=1=5，AB=2BC=2.(1)求证：AD^D1C；πDP(2)若点P的在线段BD上，且二面角P--CDB的大小为，求1的值.14PB18．（17分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为FE,的准线l交x轴于点K，过K的直线l与抛物线E相切于点A，且交y轴正半轴于点P.已知E上的动点B到点F的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3.(1)求抛物线E的方程；uuuruuur(2)过点P的直线交E于MN,两点，过M且平行于y轴的直线与线段OA交于点T，点H满足MT=TH.证明：直线HN过定点.19．（17分）今有一个“数列过滤器”，它会将进入的无穷非减正整数数列删去某些项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列，每次“过滤”会删去数列中除以M余数为N的项，将这样的操作记为LMN(,)操作.设数列an是无穷非减正整数数列.n-1+（1）若an=2,nÎN，an进行L(2,1)操作后得到bn，设an+bn前n项和为Sn①求Sn．+②是否存在p,,qrÎN，使得SSSP,,qr成等差？若存在，求出所有的(,,)pqr；若不存在，说明理由．+（2）若an=n,nÎN，对an进行L(4,0)与L(4,1)操作得到bn，再将bn中下标除以4余数为0，1的项删掉最终得到cn证明：每个大于1的奇平方数都是cn中相邻两项的和．2024年1月“九省联考”考后提升卷高三数学（考试时间：150分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（）A．5，7B．6，7C．8，5D．8，7【答案】D【解析】数据由小到大排列为5，5，6，7，8，8，8，因此，这组数据的众数为8，中位数为7．故选：D．2．设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）22-1A．B．C．2-1D．222【答案】C【解析】依题意，设椭圆的长轴为2a，半焦距为c，则F1F2=2c，则PF2=2c，PF1=22c，于是2a=PF1+PF2=22c+2c，c2c2c\e====2-1.故选：C.a2a22c+2c3．若数列an满足2an+1=an+an+2，其前n项和为Sn，若a8=0，a16+a17=18，则S17=（）1835A．0B．18C．D．1717【答案】B【解析】因为数列an满足2an+1=an+an+2，则数列an为等差数列，18设数列a的公差为d，则a+a=a+8d+a+9d=17d=18，可得d=，n1617881718所以，a=a+d=，981717a+a17´2a18所以，S=117=9=17a=17´=18，故选B.17229174．已知a、b是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（）A．若m^a，n//a，则m^nB．若m^a，n^b，a//b，则m//nC．若a//b，mÌa，则m//bD．若m^n，m^a，n//b，则a^b【答案】D【解析】对于A选项，因为n//a，过直线n作平面b，使得aÇb=a，因为n//a，nÌb，aÇb=a，则n//a，因为m^a，aÌa，则m^a，故m^n，A对；对于B选项，若m^a，a//b，则m^b，又因为n^b，故m//n，B对；对于C选项，若a//b，mÌa，则m//b，C对；对于D选项，若m^n，m^a，n//b，则a、b平行或相交，D错.故选D.5．在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为（）1418A．B．C．D．99327【答案】B【解析】甲､乙､丙､丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法共有：34=81种；23每个地区至少安排1名专家的安排方法有：C4A3=36种；364由古典概型的计算公式，每个地区至少安排1名专家的概率为：=.819故选：B.2uuuruuuruuurruuuruuuruuur6．设F为抛物线y=2x的焦点，ABC，，为该抛物线上三点，若FA+FB+FC=0，则|FA+|FB|+|FC|=（）A．9B．6C．4D．3【答案】Dæ1ö1【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，抛物线焦点坐标Fç,0÷，准线方程：x=-，è2ø2uuuruuuruuurrQFA+FB+FC=0，\点F是VABC重心，3则x+x+x=，y+y+y=0.1232123æ1ö1æ1ö1æ1ö1而FA=x1-ç-÷=x1+，FB=x2-ç-÷=x2+，FC=x3-ç-÷=x3+è2ø2è2ø2è2ø2111333\FAFBFCx++=+++++=+++=+=xxxxx3，122232123222故选：D．æ3πöæπö1+sin2q7．已知qÎç,π÷,tan2q=-4tançq+÷，则=（）è4øè4ø2cos2q+sin2q133A．B．C．1D．442【答案】Aæ3πöæπö【解析】由题qÎç,π÷,tan2q=-4tançq+÷，è4øè4ø2tanq-4tanq+12得=Þ-4tanq+1=2tanq，1--tan2q1tanq1则2tanq+1tanq+2=0Þtanq=-2或tanq=-，2æ3πö1因为qÎÎ-ç,π÷,tanq1,0，所以tanq=-，è4ø21+sin2qsin2q+cos2q+2sinqcosqtan2q+1+2tanq==2cos2q+sin2q2cos2q+2sinqcosq2+2tanq1+1-11=4=.2+-14故选：Ax2y28．已知FF,分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F且与双曲线的一条渐近线平行的直线交12a2b22双曲线于点P，若PF1=4PF2，则双曲线的离心率为（）21A．7B．C．3D．213【答案】B【解析】b如图，不妨设点P为与双曲线渐近线y=x平行的直线与双曲线的交点.a由已知结合双曲线的定义可得PF1-PF2=3PF2=2a，28b所以，PF=a，PF=a，tanÐFFP=，且ÐFFP为锐角.231312a12sinÐFFPb12tanFFP22又=Ð12=，sinÐFFPFFP12+cosÐ12=1，cosÐF1F2