吉林省东北师大附中、长春市十一高中、吉林一中、四平一中、松原实验中学2023-2024学年高三上学期

五校联合考试数学答案一､单选题1-8ACADBBCD二､多选题9.ABD10.BC11.AC三､填空题21712.6013.14.145四､解答题15.解：（1）若高一选修滑雪，设高三冬季学期选修滑冰为随机事件A，323则PA.4510（2）随机变量X的可能取值为1，2.32311322117PX1,PX2.534320534320所以X的分布列为：X12137P202013727EX2.20202016.解：（1）a1,cosCccosA2bcosBacosCccosA2bcosB0.sinAcosCsinCcosA2sinBcosBsinAC2sinBcosB0.1π又ABCπ,sinACsinB0,cosBB.23（2）AC2CD，设CDx，则AC2x，c214x21在ABC中cosB,c214x2c.2c214x2c2x22在ABC与BCD中，cosBCA,cosBCD,6x2c230.4x2x321321c23c30,c.c0c.22117.解：（1）取PA中点G，连接GQ,GD点Q为PB中点，GQ∥AB,GQAB.21底面是边长为2的正方形，O为CD中点，DO∥AB,DOAB.2GQ∥OD,GQOD四边形GQOD是平行四边形.OQ∥DG.OQ平面PAD,GD平面PAD,OQ∥平面PAD.（2）DQ平面PBC,BC平面PBCDQBC.又底面是边长为2的正方形，DCBC,DQDCD,BC平面DCQ.OQ平面DCQ,BCOQ.又CQ平面DCQ,BCCQ.PB26,QB6,BC2,QC2.底面是边长为2的正方形，DB22,DQ2DQCQ，O为CD中点，OQDC.又BCOQ,DCBCC,OQ平面ABCD.取AB中点E，以OE,OC,OQ所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则O0,0,0,Q0,0,1,A2,1,0,B2,1,0,D0,1,0,P2,1,2所以AP4,0,2,AD2,0,0,AQ2,1,1，设平面PAD法向量为mx,y,z，mAP4x2z0则m0,1,0mAD2x0设平面QAD法向量为nx,y,z，nAQ2xyz0则n0,1,1nAD2x0mn2cosm,nmn2又二面角PADQ范围为0,π，π所以二面角PADQ的大小为.4c1a2,22222xy18.解：（1）由题意可得：abc，解得b3，所以椭圆的方程为：1；4333c11a24b2（2）依题意，A2,0,B2,0，设Mx1,y1,Nx2,y2，直线BM斜率为kBM.若直线MN的斜率为0，则点M,N关于y轴对称，必有k1k20，不合题意.所以直线MN的斜率必不为0，设其方程为xtymm2，3x24y212,与椭圆C的方程联立得3t24y26tmy3m2120，xtym,6tmy1y22,223t4所以Δ483t4m0，且因为Mx1,y1是椭圆上一点，满足3m212yy.123t24x2x2y2311111，所以yyy243，11143k1kBM22x12x12x14x14433y1y2则，即因为k12k2kBMk2.kBMk24kBM8x12x22y1y2y1y222ty1m2ty2m2ty1y2tm2y1y2(m2)3m212223m43m233t4222,t3m126t2mm24(m2)4m28(m2)23t243t24224232所以m，此时Δ483t4483t0，3992故直线MN恒过x轴上一定点D,0.36tm4ty1y222,3t43t4因此2，所以SS3m123212yy.12223t433t41212y1y22y1y22.23238323243t3t2422283399y1y2y1y24y1y222333t433t2483142233t493t2411834令2x20,,S1S2xx3t443911当即时，取得最大值862t0S1S2.3t449834862S1S2xx0,399xx19.解：（1）当a0时，fx2xe,fx2x1e.f14e.曲线yfx在点1,f1处的切线方程为y4ex12e4ex2e.11（2）当a时，fxe2x2xex，定义域为,22fxe2x2x1exexex2x2,令Fxex2x2，则Fxex2，当x,ln2,Fx0；当xln2,,Fx0；所以Fx在,ln2递减，在ln2,上递增，F(x)minFln222ln222ln201F10,F2e260e存在x11,ln2使得Fx10，存在x2ln2,2使得Fx20，x,x1时，Fx0,fx0,fx单调递增；xx1,x2时，Fx0,fx0,fx单调递减；xx1,时，Fx0,fx0,fx单调递增；1所以a时，fx有一个极大值，一个极小值.22xxxx（3）fx2ae2x1e2eaex1，111a21由xR,fx0,f0a0，得a0，aaaa令gxaexx1，则gx在R上递减，x0时，ex0,1,aexa,0,gxaexx1ax1，则ga1aa110又g1ae10，x0x0a1,1使得gx00，即gx0aex010且当x,x0时，gx0即fx0；当x0x0,时，gx0即fx0，2x0x0fx在,x0递增，在x0,递减，f(x)maxfx0ae2x0e，x1由x00，gx0aex010,aex0x01e1x01x01由得x0x0即，f(x)max0x01e2x0e00ax01x01由得2，x010x011,2x01x1x1xa0,设hx(2x1)，则hx0，ex0exex12可知hx在2,1上递增，2hxh212e,hxh10e2实数a的取值范围是212e,0.