2024年度高三寒假新结构适应性测试模拟试卷（三）数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x>0}，则A∪B＝( )A．(0，2] B．[－2，0)C．(－∞，－2] D．[－2，＋∞)2．若复数z1，z2在复平面内对应的点关于x轴对称，且z1＝2－i，则复数eq\f(z1,z2)＝( )A．－eq\f(3,5)－eq\f(4,5)i B．eq\f(3,5)－eq\f(4,5)iC．－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i D．eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i3．某学校共1000人参加数学测验，考试成绩ξ近似服从正态分布N(100，σ2)，若P(80≤ξ≤100)＝0.45，则估计成绩在120分以上的学生人数为( )A．25 B．50C．75 D．1004．已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))＋cosωx(ω>0)，f(x1)＝0，f(x2)＝eq\r(3)，且|x1－x2|的最小值为π，则ω的值为( )A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,2)C．1 D．25．用红、黄、蓝三种颜色给下图着色，要求有公共边的两块不着相同颜色．在所有着色方案中，①③⑤着相同颜色的有( )A．96种 B.48种C．24种 D.12种6．已知奇函数f(x)在R上是减函数，g(x)＝xf(x)，若a＝g(－log25.1)，b＝g(3)，c＝g(20.8)，则a，b，c的大小关系为( )A．a0，b>0)，其一条渐近线方程为x＋eq\r(3)y＝0，右顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，点P在其右支上，点B(3，1)，△F1AB的面积为1＋eq\f(\r(3),2)，则当|PF1|－|PB|取得最大值时点P的坐标为( )A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(\r(6),2)，1－\f(\r(6),2)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(\r(6),2)，1＋\f(\r(6),2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(\r(3),2)，1＋\f(\r(3),10)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6＋5\r(78),22)，\f(10＋\r(78),22)))二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若过点(a，b)可作曲线y＝x2－2x的两条切线，则点(a，b)可以是( )A．(0，0) B．(3，0)C．(1，1) D．(4，3)10．对于一个事件E，用n(E)表示事件E中样本点的个数．在一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，D中，n(Ω)＝100，n(A)＝60，n(B)＝40，n(C)＝20，n(D)＝10，n(A∪B)＝100，n(A∩C)＝12，n(A∪D)＝70，则( )A．A与D不互斥 B.A与B互为对立C．A与C相互独立 D.B与C相互独立11．折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1)．图2是一个圆台(上底面面积小于下底面面积)的侧面展开图(扇形的一部分)，若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且∠ABC＝120°，则该圆台的( )A．高为eq\f(2\r(2),3)B．表面积为eq\f(34π,9)C．体积为eq\f(52\r(2)π,81)D．上底面面积、下底面面积和侧面积之比为1∶9∶24三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知a，b是互相垂直的两个单位向量，若向量a＋b与向量λa－b的夹角是钝角，请写出一个符合题意的λ的值：________．13．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，|A1B1|＝10，点P在抛物线的准线上．若AP是∠A1AB的角平分线，则点P到直线l的距离为________．14．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3x)＋\r(x)))eq\s\up12(n)展开式的所有项的二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项的二项式系数为________．(用数字作答)四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝0，且an>0(n≥2)，an＋1＝eq\r(Sn＋1)＋eq\r(Sn).(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝eq\f(an,2n)，若{bn}的前n项和Tn－1且x≠0，正整数n不小于2，那么(1＋x)n≥1＋nx.研究发现，伯努利不等式可以推广，请证明以下问题：(1)当α∈[1，＋∞)时，(1＋x)α≥1＋αx对任意x>－1恒成立；(2)对任意n∈N*，1n＋2n＋3n＋…＋nn<(n＋1)n恒成立．