数学（七省新高考01）（考试版A4）

2024年高考数学第一次模拟考试（七省新高考）高三数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．设i为虚数单位，复数满足，则（    ）A． B．2 C． D．12．已知集合，则（    ）A． B．C． D．3．“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（    ）A．充要条件 B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件4．某校高三年级有500人，一次数学考试的成绩X服从正态分布．估计该校高三年级本次考试学生数学成绩在120分以上的有（    ）参考数据：若，则，．A．75人 B．77人 C．79人 D．81人5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为（    ）A． B． C． D．6．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ）A． B． C． D．7．如图，在棱长为2的正方体中，，，，，均为所在棱的中点，则下列结论正确的是（    ）  A．棱上一定存在点，使得B．设点在平面内，且平面，则与平面所成角的余弦值的最大值为C．过点，，作正方体的截面，则截面面积为D．三棱锥的外接球的体积为8．定义在区间上的函数满足：对恒成立，其中为的导函数，则A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知一组样本数据，其中（，2，…，15），由这组数据得到另一组新的样本数据，，…，，其中，则（    ）A．两组样本数据的样本方差相同B．两组样本数据的样本平均数相同C．，，…，样本数据的第30百分位数为D．将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，该样本数据的平均数为510．若函数（，，）的图象如图，且，，则下列说法正确的是（    ）A．函数的周期为5B．函数的对称轴为，C．函数在内没有单调性D．若将的图象向左平移（）个单位长度，得到的函数图象关于轴对称，则的最小值为111．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法一定正确的是（    ）A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称C．函数为偶函数 D．函数的图象关于对称12．已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于，和，，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，则（    ）A．四边形面积的最大值为2B．四边形周长的最大值为C．为定值D．四边形面积的最小值为32第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知向量是单位向量，且与垂直，与的夹角为135°，则．14．已知正四棱台中，，，则其体积为.15．试写出曲线与曲线的一条公切线方程.16．已知各项都不为0的数列的前项和满足，其中，设数列的前项和为，若对一切，恒有成立，则能取到的最大整数是.四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，．(1)求cosB；(2)若b＝3，a＞c，△ABC的面积为，求a．18．设同时满足条件：①；②，是常数）的无穷数列叫做数列，已知数列的前项和满足为常数，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设，若数列为等比数列，求的值；并证明数列为数列．19．四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面．(1)证明：；(2)若，且与平面所成角的正弦值为，点在线段上且满足，求二面角的余弦值．20．击鼓传花，也称传彩球，是中国古代传统民间酒宴上的助兴游戏，属于酒令的一种，又称“击鼓催花”，在唐代时就已出现．杜牧《羊栏浦夜陪宴会》诗句中有“球来香袖依稀暖，酒凸觥心泛艳光”，可以得知唐代酒宴上击鼓传花助兴的情景．游戏规则为：鼓响时，开始传花(或一小物件)，鼓响时众人开始依次传花，至鼓停为止，此时花在谁手中(或其序位前)，谁就上台表演节目(多是唱歌、跳舞、说笑话：或回答问题、猜谜、按纸条规定行事等)．某单位组织团建活动，9人一组，共9组，玩击鼓传花，组号（前五组）与组内女性人数统计结果如表：x12345y22344若女性人数与组号(组号变量依次为1，2，3，4，5，…)具有线性相关关系．(1)请求出女性人数关于组号的回归直线方程；（参考公式，）(2)从前5组中随机抽取3组，若3组中女性人数不低于3人的有组，求的分布列与期望．21．已知双曲线：的离心率为，直线：与双曲线C仅有一个公共点.(1)求双曲线的方程(2)设双曲线的左顶点为，直线平行于，且交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上.22．已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)证明：当时，恒成立．