2024届福建省高三下学期2月开学大联考数学试题

高二数学注意事项：1.答题前，考生务必将自已的姓名，为生号，考场号，座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.（）A.B.C.D.3.已知，则（）A.8B.9C.D.4.国家统计局发布的2018年至2022年我国居民消费水平情况如图所示，则下列说法正确的是（）（居民消费水平：）A.2018年至2022年我国居民消费水平逐年提高B.2018年至2022年我国城镇居民消费水平逐年提高C.2018年至2022年我国居民消费水平数据的分位数为27504元D.2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多5.已知，则（）A.0B.1C.-1D.6.某班级举行“变废为宝”手工活动，某学生用扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的侧面，在它的轨截面中，，则原扇形纸壳中扇形的圆心角为（）A.B.C.D.7.过原点的直线与圆交于两点，且，则（）A.1B.2C.D.8.已知函数，若任意在上有零点，则的取值范围为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知双曲线的左､右焦点分别为为坐标原点，直线与双曲线的渐近线交于点（在第二象限，在第一象限），下列结论正确的是（）A.B.C.若的面积为2，则双曲线的焦距的最小值为4D.若的面积为2，则双曲线的焦距的最小值为810.如图，三角形数阵由一个等差数列排列而成，按照此规律，下列结论正确的是（）A.数阵中前7行所有数的和为1190B.数阵中第8行从左至右的第4个数是101C.数阵中第10行的第1个数是137D.数阵中第10行从左至右的第4个数是14611.已知定义在上的函数满足，当，时，.下列结论正确的是（）A.B.C.是奇函数D.在上单调递增三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则__________.13.甲､乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负即停止比赛.已知甲每局赢的概率为，每局比赛的结果相互独立.本次比赛到第3局才分出胜负的概率为__________，本次比赛甲获胜的概率为__________.14.如图，将正四棱柱斜立在平面上，顶点在平面内，平面.点在平面内，且.若将该正四棱柱绕旋转，的最大值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知正项等比数列满足.（1）求的通项公式；（2）记的前项中最大值为，最小值为（规定：），令，求数列的前项和.16.（15分）将3个数字1，2，3随机填入如下99个空格中，每个空格中最多填一个数字，且填入的3个数字从左到右依次变大.（1）求数字2填在第2个空格中的概率；（2）记数字2填在第个空格中的概率为，求的最大值.17.（15分）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，.（1）证明：平面.（2）若，求二面角的余弦值.18.（17分）已知椭圆的方程为，右焦点为，且离心率为（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，证明，圆恒与以弦为直径的圆相切.19.（17分）已知函数.（1）若曲线在点处的切线过点，求的值；（2）若恒成立，求的取值范围.高三数学参考答案1.B.2.D.3.C令，可得，则.4.D2019年的居民消费水平比2020年的居民消费水平高，A错误.2019年的城镇居民消费水平比2020年的城镇居民消费水平高，B错误.2018年至2022年我国居民消费水平数据从小到大排序为年至2022年我国居民消费水平数据的分位数为元，错误.设我国农村人口数为，城镇人口数为，则，化简得，所以2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多，D正确.5.C因为，所以，则，即，所以.6.B延长交于点，设圆台上､下个底面的闪心分别为.连接，设.因为，所以，则.设所求圆心角为，则，所以.7.A圆，即圆，圆心到直线的距离为的中点为.因为，所以.因为，所以.又因为，所以，解得，所以直线经过圆心，所以.8.C令，由题意可得在上有解.因为在内有解的最短区间长度为.所以，解得.9.AC，点在以为圆心，为半径的圆上，所以，A正确.直线的斜率为，直线的斜率为与不一定相等，所以直线与直线不一定平行，B错误.的面积为，双曲线的焦距为，当且仅当时，等号成立，所以双曲线的焦距的最小值为正确，错误.10.ACD设等差数列的通项公式为.数阵中前7行共个数，数阵中前7行所有数的和为，A正确.令，解得，前7行共28个数，第8行有8个数，所以101是数阵中第8行从左至右的第6个数，B错误.记每一行的第1个数组成数列，则，累加得，所以，C正确.数阵中第10行从左至右的第4个数是，D正确.11.ACD令，可得.令，可得.因为当时，，所以.令，可得.因为，所以当时，.又因为当时，，所以当时，.令，可得，①所以，两式相加可得.令，可得.②①-②可得，化简可得，所以是奇函数，正确.由，可得，B错误.由可得解得正确.令，可得.令，则.因为当时，，所以，所以，即，所以在上单调递增.因为为奇函数，所以在上单调递增，D正确.12.4，解得.13.；（本题第一空2分，第二空3分）到第3局才分出胜负，则前两局甲､乙各赢一局，其概率为.若甲获胜，分2种情况：①甲连赢2局，其概率为，②前两局甲､乙各赢一局，第三局甲赢，其概率为.故甲获胜的概率为.14.过点作，垂足为，连接.易得平面，所以点到平面的距离为.过点作平面，垂足为（图略）.当三点共线，且时，取得最大值，最大值为.15.解：（1）设的公比为，则解得或（舍去）.所以的通项公式为.（2）因为是递增数列，所以，..16.解：（1）数字2填在第2个空格中的概率为.（2）由题意可得，且..当时，取得最大值，最大值为.17.（1）证明：记.因为四边形是菱形，所以.因为平面平面.且，所以平面.因为平面，所以.因为平面平面，且，所以平面.（2）解：以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，.设平面的法向量为，则令，得.平面的一个法向量为.，易得二面角为锐角，故二面角的余弦值为.18.（1）解：由题意得椭圆的半焦距，且，所以.又因为，所以椭圆的方程为.（2）证明：当直线的斜率为0时，直线的方程为此时为椭圆的长轴，以弦为直径的圆的方程为，该圆的半径为2.圆的半径为，两圆的圆心距为.满足圆恒与以弦为直径的圆相切.当直线的斜率不为0时，设直线的方程为的中点为.联立得，所以，..记圆的圆心为，..满足圆恒与以弦为直径的圆相切.综上，圆恒与以弦为直径的圆相切.19.解：（1）.曲线在点处的切线方程为.因为该场线过点，所以，解得.（2）因为，所以，且.两边平方可得.令函数.令函数，所以是增函数.令，得.下面比较与的大小.令函数是减函数.因为，所以存在，使得当时，，即.当时，，即.当时，当时，，即；当时，，即.所以在上单调递减，在上单调递增..令函数，所以是增函数.由题意可得，又因为，所以.当时，，符合题意.综上，的取值范围为.