重庆市南开中学校2023-2024学年高三下学期2月月考数学试题+答案

重庆市高2024届高三第六次质量检测数学试题命审单位：重庆南开中学2024.2注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合Ax={∣∣−<1x<3},Bx={}∈N*2x−3x<0，则AB∩=（）A.{xx∣0<<3}B.{xx∣−<1<3}C.{}1,2D.{}0,1,22.已知复数z满足()zz+=−1i21，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知非零向量ab,满足ba=23，且a⊥+()3ab，则a与b的夹角为（）ππ2π5πA.B.C.D.63364.已知等差数列{}an的前n项和为Sn，满足a2=3,3SS43=4+12，则a7等于（）A.10B.11C.12D.13x221ex+−sinx5.函数2的部分图像大致为（）fx()=e2x−1学科网（北京）股份有限公司A.B.C.D.66.已知三棱锥O−ABC的体积是,,,ABC是球O的球面上的三个点，且∠ACB=120,AB=3，6AC+=BC2，则球O的表面积为（）A.36πB.24πC.12πD.8π22xy､7.已知双曲线：−=>1(ab0,>0)的左右焦点分别为FF12，过点F2作直线交双曲线右支于MN､两ab22点（点在轴上方），使得若+⋅=，则双曲线的离心率为（）MxMF22=3FN.()MF11MNFN06A.B.2C.3D.228.对于正数ab,，有()()21ab+a+=b6ab，则ab+的取值范围是（）A.(0,1]B.1,3C.[]1,2D.[]2,+∞二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某射箭俱乐部举行了射箭比赛，甲､乙两名选手均射箭6次，结果如下，则次数第x/次123456环数y/环786789甲选手学科网（北京）股份有限公司次数第x/次123456环数y/环976866乙选手A.甲选手射击环数的第九十百分位数为8.5B.甲选手射击环数的平均数比乙选手的大C.从发挥的稳定性上看，甲选手优于乙选手D.用最小二乘法求得甲选手环数y关于次数x的经验回归方程为yx=0.3+aˆ，则aˆ=6.4510.已知一圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是圆心角为3π的扇形，AB,为底面圆的一条直径上的两个端点，则（）A.该圆锥的母线长为2B.该圆锥的体积为πC.从A点经过圆锥的表面到达B点的最短距离为23D.过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为311.平面解析几何的结论很多可以推广到空间中，如：（1）平面上，过点Qx()00,y，且以xx−−yym=()()a,0bab≠为方向向量的平面直线l的方程为00=；在空间中，过点Qx(),,yz，且ab000xx−−−yyzz以m=()()a,,bcabc≠0为方向向量的空间直线l的方程为0=00=.（2）平面上，过点abcQx()00,y，且以n=()()m,0nmn≠为法向量的直线l的方程为mx()()−+x00ny−=y0；空间中，过点Qx()0,,y00z，且以n=()()m,,npmnp≠0为法向量的平面α的方程为mx()()()−+x000ny−+ypz−=z0.现已知平面α:2xyz++=345，平面2xy−=10β:−−xyz220,:+=l12,:64131lx=y+=z−，则（）yz+=−1A.l1∥αB.α∥βC.l1⊥βD.l2⊥β三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆Cx:22+y+2x−4y+=30，直线l:mx+2y+m−=20，若直线l与圆C交于AB,两点，则AB的最小值为__________.学科网（北京）股份有限公司13.2024年伊始，随着“广西沙糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”.某班级五位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这五位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂，冰雪大世界，中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是__________.14.设fx()是定义在R上的单调增函数，且满足f()(−−17x+fx)=−，若对于任意非零实数x都有11ffx()+−−x+24=−，则f()2024=__________.fx()+3x四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，OB=BF=1，点G是线段BF的中点（1）证明：EG∥平面DAF；（2）若直线DF与圆柱底面所成角为45，求点G到平面DEF的距离.16.（15分）π1π设函数fx()=cosωωxsinx+−(ω>0)，且函数fx()的图像相邻两条对成轴之间的距离为642π（1）若x∈0,，求fx()的取值范围；21π（2）把函数fx()图像上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单26学科网（北京）股份有限公司位长度，得到函数gx()的图像，讨论函数gx()的单调性；1（3）在ABC中，记ABC､､所对的边分别为abc､､,f()A=−，外接圆面积为24π,tanBC=()2−3tan，∠BAC的内角平分线与外角平分线分别交直线BC于DE､两点，求DE的长度.17.（15分）设f()x=+>axaxlnx,a0.（1）求fx()的极值；12x（2）若对于∀∈x,+∞，有fx()e恒成立，求a的最大值.218.（17分）1已知定点AB()()1,0,−1,0，若动点P到A()1,0与到定直线lx1:4=的距离之比为.2（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点B作直线l2交C于MN､两点（M点在x轴的上方），过点M作l1的垂线，垂足为Q.是否存在点P，使得四边形MNPQ为菱形？若存在，请求出此时l2的斜率；若不存在，请说明理由；（3）若动点P在第一象限，延长PA､PB交C于RK､两点，求PAK与PBR内切圆半径的差的绝对值的最大值.19.（17分）已知正项数列满足：22*{}an4aann++11−5aann+−4an5an+1=∈0,nN,a1=2.1=+（1）设bann，试证明{}bn为等比数列；anbn50（）设=，试证明；2cn2cc12+++<cnbn−49111=22+++2=+++n−2（3）设Ana12aaBnn,222，是否存在n使得32()ABnn+为整数？如果存aa12an在，则求出n应满足的条件；若不存在，请给出理由.学科网（北京）股份有限公司重庆市高2024届高三第六次质量检测数学试题参考答案与评分细则题号1234567891011选项CDDDAADCBCDABAC一､单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.122+−1【解析】分子分母同时除以x得xxsin，函数22+−是偶函数，函数xx−5.Ae=2xxsinee−fx()xx−2ee−是奇函数，所以函数fx()是奇函数，排除C,fx()的定义域是{}xx∣≠0，排除B，当x→+∞时，+fx()→0，所以排除D，所以选A.36.A【解析】因为AB=3,∠ACB=120，所以ABC的外接圆半径为r==12sin120在ABC中，由余弦定理可得3==+−⋅AB2AC22BC2ACBCcos120=++⋅=+AC22BCACBC(ACBC)2−⋅ACBC213所以AC⋅BC=(AC+BC)−=31，所以S=⋅=ACBCsin120，ABC241136因为V=Sh⋅=××=h.∴=h22O−ABC3ABC346球半径R=hr22+=3，所以球面积SR=4π2=36π，故选A【解析】由，可知，故，7.D()MF11+MN⋅=FN0MF1=MNF2N=−=−=MNMF2MF12MF2a则F1N=4,aMF22=3NF=6,aMF1=8a，在MF12F与NF12F中由余弦定理可得：4ac222+−416a4c222+36a−64acos∠∠FFN=,cosFFM=，128ac1224ac22而cos∠∠FFM12+=cosFFN120，解得ca=4，即e=2.63ab3+==−−ab3328.C【解析】由题可知：21ab++21ab()ab+（当且仅当ab=时取等），21⋅+42化简可得(ab+)−3()ab++20，解得12ab+.学科网（北京）股份有限公司二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.BCD（选对1个得2分，选对两个得4分）10.AB（选对一个得3分）【解析】对于A，一圆锥的底面半径r=3，则底面圆周长为23π，其侧面展开图是圆心角为3π的扇23π形，×=2π3π，得l=2，所以A正确；2πl1对于B，因为r=3，母线长为2，所以该圆锥的高为1，所以其体积为π(3)2×=1π，故B正确3对于C，假设该圆锥的轴截面将该圆锥分成两部分，将其中的一部分展开，3π则其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，23π所以从A点经过圆锥的表面到达B点的最短距离为3π，故C不正确；2××2sin2=4sin≠2324对于D，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面为腰长为2的等腰三角形，122设其顶角为θ，则该三角形的面积为S=××22sinθ.当截面为轴截面时，θ=π，则0<θπ故当233π1θ=时，S=×××=2212≠3，故D不正确.2max2故选：AB11.AC（选对一个得3分）【解析】由题可知：平面α的法向量m=()2,3,4，平面β的法向量xy−5z−−()1=−−==1nl()1,2,2,1:，恒过−，方向向量=−111−()5,0,1l1,1,12211+−11yz，恒过−，方向向量x430,,l2=()2,3,4l2:==43234，且×+×+×−≠，故不在α上，则α正确A.lm1⋅=025304()15l1l1∥.B.nm⋅=0，则αβ⊥.错误学科网（北京）股份有限公司1C.ln=−，则l⊥β，正确.121234D.由≠≠，可知l与n不平行，则l与β不垂直.错误.−−12222三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.2【解析】若甲乙选的景点没有其他人选，则分组方式为：的选法总数为：2313.361,2,2CA33=18CC11若甲乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为：的选法总数为：323=1,1,32A318A2所以不同的选法总数为36.1114.2021【解析】令t=fx()+−−x+2，则ft()=−4，令xt=，则fx()+3x1111t=ft()+−−t+2=−−−−41t+2，解得t=−1或−.而f()()−−17x+fx=−，故ft()+3tt21711f−=−.因此t=−1.则−=12fx()+−x−+，22fx()+3x1111fx()+−3x即fx()++33=+x⋅fx()+−=x−=.fx()++33xxfx()xfx()()+31因此fx()+−=30x或xfx()()+=31，当xfx