专题23 导数及其应用小题（解析版）

专题23导数及其应用小题解题秘籍八大常用函数的求导公式（为常数）；例：，，，，，，，导数的四则运算和的导数：差的导数：积的导数：（前导后不导前不导后导）商的导数：，复合函数的求导公式函数中，设（内函数），则（外函数）导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率直线的点斜式方程直线的点斜式方程：已知直线过点，斜率为，则直线的点斜式方程为：用导数判断原函数的单调性设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.判别是极大（小）值的方法当函数在点处连续时，（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.模拟训练一、单选题1．（22·23·西安·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的是（    ）A． B．必为偶函数C． D．若，则【答案】D【分析】令，求得或，可判定A不正确；由时，得到，函数既是奇函数又是偶函数；又由时，得到为奇函数可判定B不正确；令，得到，令，得到，可判定C不正确；求得得到的值有周期性，且6个为一周期，进而判定D正确.【详解】对于A中，令，则由，可得，故或，故A不正确；对于B中，当时，令，则，则，故，函数既是奇函数又是偶函数；当时，令，则，所以为偶函数，则为奇函数；综合以上可知必为奇函数，B不正确；对于C中，令，则，故，由于，令，即，即有，故C不正确；对于D中，若，令，则，则，故令，则，即，所以，令，则，即，所以，令，则，即，所以，，令，则，即，，令，则，即，，令，则，即，，由此可得的值有周期性，且6个为一周期，且，故，故D正确.故选：D.2．（23·24上·长春·一模）定义域为的函数的导函数记作，满足，，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据条件构造函数，利用导数判断单调性，由单调性求解不等式即可.【详解】令，则，所以函数在上单调递增，又，由可得，即，所以.故选：A3．（23·24上·吉林·一模）已知函数在区间上有且仅有4个极大值点，则正实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题设，令，结合正弦函数性质及极值点定义确定的范围，即可得答案.【详解】由，结合题设，令，故在有且仅有4个极大值点，根据正弦函数图象及极值点定义知：，则.故选：C4．（22·23·唐山·一模）已知函数,则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】化简，得到，令，令，求得，得到在上单调递增，且函数为偶函数，进而得到上单调递减，把不等式转化为，列出不等式，即可求解.【详解】由函数，所以，令，可得令且，可得在上恒成立，所以，所以在上单调递增，又由，所以函数为偶函数，则在上单调递减，又由，即，即，整理得，解得或，即不等式的解集为.故选：B.5．（22·23·沧州·三模）已知，且，为自然对数的底数，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】等式转化为，观察等式左右两边，构建出函数，其为单调递增，，；再构建函数，则在上单调递增，得，易得，故，易得，.【详解】，令，,时，，所以函数在上单调递增，∵，又，，∴.令，，时，，则在上单调递增，得，，则，有，故，又，∴，∴，B正确.故选：B.6．（22·23下·石家庄·一模）已知在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】将问题化为与有两个不同的交点，利用导数研究单调性、值域，即可求参数范围.【详解】由，则，故，要使原方程在有两个不等实根，即与有两个不同的交点，由，令，则，，则，所以在上递增，上递减，故，又趋向于0时，趋向负无穷，趋向于正无穷时，趋向0，所以，要使与有两个不同的交点，则，所以.故选：D7．（22·23下·湖北·三模）已知函数图象上存在关于y轴对称的两点，则正数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先分析的单调性，可得对称点分别位于与的图象上，从而得到，进而利用同构法，构造函数得到，再构造函数，由此得解.【详解】因为，所以当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；又的图象上存在关于y轴对称的两点，所以这两个对称点分别位于与的图象上；设在的图象上，则在函数的图象上，且，故有，即，进而；设，则，又恒成立，故在上单调递增，所以，即，令，则在上恒成立，故在上单调递减，故，则，于是．故选：B．【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用同构法，将转化为，从而构造了函数，由此得解.8．（22·23·哈尔滨·三模）设实数，对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将化简为，再构造函数，求导分析单调性可得在区间上恒成立，再参变分离构造函数求最值解决恒成立问题即可.【详解】因为恒成立即，可得，令，则恒成立.又，故当时，，故在区间上为增函数.又恒成立，则在区间上恒成立，即，.构造，则，令有，故当时，为增函数；当时，为减函数.故，故，即.故选：B【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.9．（22·23下·青岛·一模）已知函数，若，，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用奇函数得到，再判断，利用二次求导判断在上单调递增，从而可判断.【详解】因为，所以在上是奇函数.所以对求导得，令，则当时，，所以在上单调递增，则时，，即，所以在上单调递增.因为，所以，因为在上单调递增，所以.令，则所以当时，单调递减；当时，单调递增.所以，而，即，所以，即.所以，即，则所以所以，即.故选：A【点睛】关键点睛：构造函数，判断.10．（22·23下·全国·二模）已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（    ）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】作出函数的图象，可设，可得，判断与交点个数，进而将的零点个数问题转化为函数的图象交点个数问题，数形结合，可得答案.【详解】设，令可得：,对于，，故在处切线的斜率值为，设与相切于点，切线斜率，则切线方程为：，即，解得：；由于，故作出与图象如下图所示，与有四个不同交点，即与有四个不同交点，设三个交点为，由图象可知：，作出函数的图象如图，由此可知与无交点，与有三个不同交点，与各有两个不同交点，的零点个数为7个，故选：C【点睛】方法点睛：解决此类复合函数的零点问题，常常采用换元的方法，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决.11．（22·23·南昌·二模）已知正实数a使得函数有且只有三个不同零点，若，则下列的关系式中，正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用函数零点的意义用x表示a，再数形结合探求出的关系，然后逐项判断作答.【详解】依题意，由得：，即，令，，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，函数有三个零点，即直线与函数与函数的图象共有三个公共点，在同一坐标平面内作出函数与函数的图象，它们有公共点，如图，因此直线必过点，令直线与函数的图象另一交点为，与函数的图象另一交点为，显然，且有，由得：，即，而，于是，由得：，即，而，于是，由得：，即，D正确；对于A，，A错误；对于B，令，，函数在上递增，即有，因此，则，而，从而，B错误；对于C，因为，若成立，则必有，令，，当时，递减，当时，递增，而，因此函数的两个零点，即方程的两个根分别在区间内，令，，当时，递减，当时，递增，而，因此函数的两个零点，即方程的两个根分别在区间内，显然直线与函数和的图象的交点有4个，不符合题意，所以，即不正确，C错误.故选：D【点睛】思路点睛：研究方程根的情况，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，借助数形结合思想分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.12．（22·23·保山·二模）若函数与函数的图象存在公切线，则实数a的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求得公切线方程为，联立方程组，结合，得到，令，求得，令，求得和，得到函数的单调性和最小值，进而得到，即可求解.【详解】由函数，可得，因为，设切点为，则，则公切线方程为，即，与联立可得，所以，整理可得，又由，可得，解得，令，其中，可得，令，可得，函数在上单调递增，且，当时，，即，此时函数单调递减，当时，，即，此时函数单调递增，所以，且当时，，所以函数的值域为，所以且，解得，即实数的取值范围为.故选：A.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．13．（23·24·鞍山·二模）已知定义在上的函数满足，且，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，利用的奇偶性和单调性求得正确答案.【详解】设，，所以是奇函数.当时，，则，所以在上单调递增，则在上单调递增，不等式即，所以，所以不等式的解集为.故选：D【点睛】关键点睛：本题的关键点有两点，一个是函数的奇偶性，奇偶性可以转化为来进行判断；一个是构造函数法，有关和的不等关系式，在解题过程中可以考虑利用构造函数法，然后结合导数来进行求解.二、多选题14．（22·23·保定·二模）已知函数，则（    ）A．在单调递减，则B．若，则函数存在2个极值点C．若，则有三个零点D．若在恒成立，则【答案】BCD【分析】依题意若在单调递减可求得，可知A错误；若，可判断出函数的单调性，即可求出函数存在2个极值点，即B正确；将代入可得出函数的单调性并画出图象即可知C正确；利用参变分离并根据单调性求出函数最值即可得出D正确.【详解】易知函数的定义域为，且，若在单调递减，可得在上恒成立，即在上恒成立，当时，为任意值时都成立，当时，可得，易知时，；即函数在上的最小值为，所以可得即可，可得A错误；若，令，可知方程有两个不相等的实数根和，所以当时；时；即在，上单调递增，在上单调递减，所以函数存在2个极值点，即B正确；若，则，易知时；时；即在和上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，极小值；画出其函数图象如下图所示：  即可知有三个零点，所以C正确；若在恒成立，易知当时，无论取何值时，恒成立；当，即时，需满足恒成立，不妨设，可得，所以当时，，所以单调递增；当时，，此时单调递减；所以，可得；当时，即，需满足恒成立，易知函数的导函数，显然时，即函数在上单调递增，所以，可得；综上可得，所以，若在恒成立，则，即D正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性及其最值，通常会利用逻辑推理、分类讨论、转化思想等将极值点等问题转化成函数零点来求解.15．（22·23下·广州·三模）已知有三个不相等的零点，，，且，则下列命题正确的是（    ）A．存在实数，使得B．C．D．为定值【答案】BCD【分析】化简方程，令，得到．构造函数，则，利用函数的单调性，结合函数的图象，要使关于的方程三个不相等的实数解，，，且，结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，结合韦达定理，推出所求表达式的关系式，然后对选项一一判断即可得出答案．【详解】由方程，可得．令，则有，即．令函数，则，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减．所以，作出图象如图所示，要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，且或，令，若，则，故.若，则，无解，综上，故C正确；由图结合单调性可知，故B正确；若，则，又，故A不正确；，故D正确.  故选：BCD.【点睛】