专题15 导数中同构与放缩的应用(解析版)

专题15 导数中同构与放缩的应用同构法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题．当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力，对代数式的变形能力的要求也是比较高的，考点一 部分同构携手放缩法（同构放缩需有方，切放同构一起上）【方法总结】在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：(1)当a＞0且a≠1时，有，(2)当a＞0且a≠1时，有再结合指数与对数运算法则，可以得到下述结论(其中x＞0)(“ex”三兄弟与“lnx”三姐妹)(3)，(4)，(6)，再结合常用的切线不等式：，，，等，可以得到更多的结论(7)，．，．(8)，，(9)，，【例题选讲】[例1] (1)已知，则函数的最大值为________．答案 －2 解析 ．(当且仅当x＋lnx＋1＝0取等号)．(2)函数的最小值是________．答案 1 解析 (当且仅当x＋lnx＝0取等号)．(3)函数的最小值是________．答案 1 解析 (当且仅当x＋2lnx＝0取等号)．[例2] (1)不等式恒成立，则实数a的最大值是________．答案 1 解析 ，当且仅当x＋lnx＝0等号成立．(2)不等式恒成立，则正数a的取值范围是________．答案 解析 ，当x＋lnx＋1≤0时，原不等式恒成立，当x＋lnx＋1＞0时，，由于，当且仅当x＋lnx＝1等号成立，所以，故．(3)不等式恒成立，则正数a的取值范围是________．答案 解析 ．(4)已知函数，其中b＞0，若恒成立，则实数a与b的大小关系是________．答案 解析 ，由于，当且仅当x＋blnx＝0等号成立，所以．(5)已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是________．答案 解析 ，由于lnx＋1≤x，ex≥ex，两者都是当且仅当x＝1等号成立，则，所以．(6)已知不等式，对任意的正数x恒成立，则实数k的取值范围是________．答案 解析 ，由于ex≥ex，lnex≤x，两者都是当且仅当x＝1等号成立，所以，则，所以．(7)已知不等式，对任意的正数x恒成立，则实数a的取值范围是________．答案 解析 ，当且仅当－ax＋lnx＝0，即时等号成立，由有解，易得．(8)已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是________．答案 解析 ，令，显然该函数单调递增，即有两个根，即有两个根，令，在(－∞，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增．，．[例3] (2020届太原二模)已知函数.(1)若函数有两个零点，求实数a的取值范围；(2)若恒成立，求实数a的取值范围．解析 (1)定义域是，，①当时，，在定义域上单调递增，不可能有两个零点；②当时，由，得，当时，，在定义域上单调递增，当时，，在定义域上单调递减，所以当时，取得极大值．当时，，当时，，因为有两个零点，所以，解得．(2)要使恒成立，只要恒成立，只要恒成立，令，则，当且仅当时取等号．所以恒成立，实数a的取值范围为．【对点精练】1．函数的最小值为________．1．答案 解析 ，当且仅当x＋lnx＝0等号成立．2．函数的最小值为________．2．答案 1 解析 ，当且仅当x＋lnx＝0等号成立．3．函数的最大值是________．3．答案 0 解析 (当且仅当x＋lnx＝0取等号)．4．已知不等式，对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是________．4．答案 解析 ，由于，所以．5．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是________．5．答案 解析 ，当x＋lnx＋1≤0时，原不等式恒成立，当x＋lnx＋1＞0时，，由于，当且仅当x＋lnx＝1等号成立，所以，故．6．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是________．6．答案 解析 ，由于lnx＋1≤x，e2x≥2ex，两者都是当且仅当x＝1等号成立，则，所以．7．已知a，b分别满足，则ab＝________．7．答案 e3 解析 同构化处理，并利用函数的单调性．，，令，显然该函数单调递增，即，即，则ab＝e3．8．已知x0是函数的零点，则________．8．答案 2 解析 ，所以，即，或，则．考点二 整体同构携手脱衣法【方法总结】在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一个函数），无疑大大加快解决问题的速度，找到这个函数模型的方法，我们就称为整体同构法．如，若F(x)≥0能等价变形为f[g(x)]≥f[h(x)]，然后利用f(x)的单调性，如递增，再转化为g(x)≥h(x)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法．1．地位同等同构（主要针对双变量，合二为一泰山移）(1)eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>k(x1eq\f(k(x1－x2),x1x2)＝eq\f(k,x2)－eq\f(k,x1)f(x1)＋eq\f(k,x1)>f(x2)＋eq\f(k,x2)y＝f(x)＋eq\f(k,x)为减函数；含有地位同等的两个变x1，x2或p，q等的不等式，进行“尘化尘，土化土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）2．指对跨阶同构（主要针对单变量，左同右同取对数）(1)积型：如，，后面的转化同(1)说明；在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知．(2)商型：(3)和差：如；．3．无中生有同构（主要针对非上型，凑好形式是关键）(1)；(2)；(3)．【例题选讲】[例4] (1)若，则A． B． C． D．解析 设，则，故在上有一个极值点，即在上不是单调函数，无法判断与的大小，故A、B错；构造函数，，故在上单调递减，所以，选C．(2)若，都有成立，则a的最大值为( )A． B．1 C．e D．2e解析 ，即，令，则在上为增函数，在上恒成立，，令，解得x＝1，在上为增函数，在上为减函数，，的最大值为1，选B．(3)已知，在区间内任取两实数p，q，且p≠q，不等式恒成立，则实数a的取值范围为________．解析 ①当p>q时，即，令，则，在递减，即，在递减，在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立，．②当p0．设g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝aex－1＋eq\f(1,x2)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，即f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a＝1时，f′(1)＝0，则f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝1，∴f(x)≥1成立；当a>1时，eq\f(1,a)<1，∴<1，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))f′(1)＝，∴存在唯一x0>0，使得f′(x0)＝aex0－1－eq\f(1,x0)＝0，且当x∈(0，x0)时f′(x)<0，当x∈(x0，＋∞)时f′(x)>0，∴aex0－1＝eq\f(1,x0)，∴lna＋x0－1＝－lnx0，因此f(x)min＝f(x0)＝aex0－1－lnx0＋lna＝eq\f(1,x0)＋lna＋x0－1＋lna≥2lna－1＋2eq\r(\f(1,x0)·x0)＝2lna＋1>1，∴f(x)>1，∴f(x)≥1恒成立；当00，h(x)单调递增；在(1，＋∞)上h′(x)<0，h(x)单调递减，∴h(x)max＝h(1)＝0，lna≥0，即a≥1，∴a的取值范围是[1，＋∞)．【对点精练】1．已知函数，若对任意正数x1，x2，当x1＞x2时，都有成立，则实数m的取值范围是________．1．答案 m≥0 解析 由得，，令，，在单调递增，又，，在上恒成立，即，令，则，在单调递减，(但取不到)．m≥0．2．