多面体的外接球和内切球（学生版）

多面体的外接球和内切球一、结论1、球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。类型一球的内切问题(等体积法)例如：在四棱锥P-ABCD中，内切球为球O，求球半径r.方法如下：VP-ABCD=VO-ABCD+VO-PBC+VO-PCD+VO-PAD+VO-PAB11111即：V=S⋅r+S⋅r+S⋅r+S⋅r+S⋅r，可求出r.P-ABCD3ABCD3PBC3PCD3PAD3PAB类型二球的外接问题1.公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点2.补形法(补长方体或正方体)①墙角模型(三条线两个垂直)题设：三条棱两两垂直(重点考察三视图)②对棱相等模型(补形为长方体)题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB=CD，AD=BC，AC=BD)13.单面定球心法(定+算)步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P-ABC中，选中底面ΔABC，确定其外接圆圆a心O(正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2r=)；1sinA②过外心O1做(找)底面ΔABC的垂线，如图中PO1⊥面ABC,则球心一定在直线(注意不一定在线段PO1上)PO1上；222③计算求半径R:在直线PO1上任取一点O如图：则OP=OA=R，利用公式OA=O1A+OO1可计算出球半径R.4.双面定球心法(两次单面定球心)如图：在三棱锥P-ABC中：①选定底面ΔABC，定ΔABC外接圆圆心O1②选定面ΔPAB，定ΔPAB外接圆圆心O2③分别过O1做面ABC的垂线，和O2做面PAB的垂线，两垂线交点即为外接球球心O.二、典型例题1(2023春·湖南湘潭·高二统考期末)棱长为1的正方体的外接球的表面积为()3πA.B.3πC.12πD.16π42(2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)在四面体PABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，∠BAC=120°，AB=AC=AP=2，则该四面体的外接球的表面积为()A.12πB.16πC.18πD.20π3(2023秋·湖南娄底·高三校联考期末)《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图P-ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD，PA=5，AB=3，BC=4．则该阳马的外接球的表面积为()21252π500πA.B.50πC.100πD.334(2023·全国·高三专题练习)已知菱形ABCD的各边长为2,∠D=60°．如图所示，将ΔACD沿AC折起，使得点D到达点S的位置，连接SB，得到三棱锥S-ABC，此时SB=3．E是线段SA的中点，点F在三棱锥S-ABC的外接球上运动，且始终保持EF⊥AC，则点F的轨迹的周长为()234353221A.πB.πC.πD.π33335(2023·浙江·校联考模拟预测)在三棱锥ABCD中，对棱AB=CD=22，AD=BC=5，AC=BD=5，则该三棱锥的外接球体积为，内切球表面积为.6(2022春·山西·高二校联考期末)如图所示，用一个平行于圆锥SO的底面的平面截这个圆锥，截得的圆台，上、下底面的面积之比为1：9，截去的圆锥的底面半径是3，圆锥SO的高为18．则截得圆台的体积为；若圆锥SO中有一内切球，则内切球的表面积为．三、针对训练举一反三一、单选题1(2023·陕西西安·统考一模)在三棱锥A-BCD，平面ACD⊥平面BCD，△ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形，△BCD为等边三角形，AC=4，则该三棱锥的外接球的表面积为()32π64π128π256πA.B.C.D.33332(2023·湖南·模拟预测)在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，CD=2AB=2BC=4，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积与三棱锥A-BCD的体积之比为()3π3πA.B.C.2πD.9π423(2023·山西临汾·统考一模)《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作3注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形(至多一个侧面是平行四边形)，其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除ABCDEF如图所示，底面ABCD为正方形，EF=4，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为()82A.22πB.42πC.πD.2π34(2023春·江西·高二校联考开学考试)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=3，AD=2，点M为平面ABB1A1内一动点，且C1M⎳平面ACD1，则当C1M取最小值时，三棱锥M-ABD的外接球的表面积为()A.13πB.16πC.26πD.32π5(2023·四川南充·校考模拟预测)在平面中，若正△ABC内切圆的面积为S1，内切圆与外接圆之间的S11圆环面积为S2，则=.在空间中，若正四面体PABC内切球的体积为V1，内切球之外与外接球之内的S23V1几何体的体积为V2，则=()V21111A.B.C.D.63261576(2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末)如图所示的多面体由正四棱锥P-ABCD和三82棱锥Q-PAB组成，其中AB=2.若该多面体有外接球且外接球的体积是π，则该多面体体积的最大3值是()3+36+32A.33B.23+1C.D.237(2023·陕西榆林·统考一模)已知四面体ABCD外接球的球心O与正三角形ABC外接圆的圆心重合，若该四面体体积的最大值为23，则该四面体外接球的体积为()32π64πA.8πB.C.16πD.338(2023春·河南新乡·高三校联考开学考试)已知体积为3的正三棱锥P-ABC，底面边长为23，其内切球为球O，若在此三棱锥中再放入球O，使其与三个侧面及内切球O均相切，则球O的半径为()3123A.B.C.D.393949(2022春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习)正棱锥有以下四个命题:①所有棱长都相等的三棱6锥的外接球、内切球、棱切球(六条棱均与球相切)体积比是36::2；②侧面是全等的等腰三角形顶点9在底面射影为底面中心的四棱锥是正四棱锥；③经过正五棱锥一条侧棱平分其表面积的平面必经过其内切球球心；④正六棱锥的侧面不可能是正三角形，其中真命题是()A.①④B.③④C.①③④D.②③④10(2021秋·辽宁·高二沈阳二中校联考开学考试)在正三棱柱ABC-ABC中，D是侧棱BB上一点，E是侧棱CC上一点，若线段AD+DE+EA的最小值是27﹐且其内部存在一个内切球(与该棱柱的所有面均相切)，则该棱柱的外接球表面积为()A.4πB.5πC.6πD.8π11(2022秋·黑龙江哈尔滨·高二校考期中)古希腊阿基米德被称为“数学之神”.在他的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱里内切着一个球，这个球的直径恰好等于圆柱的高，则球的表面积与圆柱的表面积的比值为()1234A.B.C.D.2345二、填空题12(2023·全国·模拟预测)已知在三棱锥P-ABC中，△ABC是面积为3的正三角形，平面PBC⊥20π平面ABC，若三棱锥P-ABC的外接球的表面积为，则三棱锥P-ABC体积的最大值为．313(2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测)已知N为正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球球面上85π的动点，M为BC的中点，DN⊥MB，若动点N的轨迹长度为，则正方体的体积是.115三、双空题14(2023·全国·模拟预测)如图所示的六面体由两个棱长为a的正四面体M-ABC，Q-ABC组合而成，记正四面体M-ABC的内切球为球O1，正四面体Q-ABC的内切球为球O2，则O1O2=；若在该六面体内放置一个球O，则球O的体积的最大值是．15(2022·陕西西安·校考模拟预测)中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形，垂直于底面的侧棱长为4，则该“阳马”的内切球表面积为，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为．5