2023-2024学年八年级数学上学期期中专题02 三角形与角有关的压轴题训练（解析版）（人教版）

专题02三角形与角有关的压轴题训练多边形内角和1．如图1六边形的内角和为度，如图2六边形的内角和为度，则．【答案】0【分析】将两个六边形分别进行拆分，再结合三角形的内角和和四边形的内角和计算即可得出答案.【详解】如图1所示，将原六边形分成了两个三角形和一个四边形，∴=180°×2+360°=720°如图2所示，将原六边形分成了四个三角形∴=180°×4=720°∴m-n=0故答案为0.【点睛】本题考查的是三角形的内角和和四边形的内角和，难度适中，解题关键是将所求六边形拆分成几个三角形和四边形的形式进行求解.2．（1）如图1所示，；（2）如果把图1称为二环三角形，它的内角和为；图2称为二环四边形，它的内角和为，则二环四边形的内角和为；二环五边形的内角和为；二环n边形的内角和为．【答案】360°720°1080°【分析】（1）结合题意，根据对顶角和三角形内角和的知识，得，再根据四边形内角和的性质计算，即可得到答案；（2）连接，交于点M，根据三角形内角和和对顶角的知识，得；结合五边形内角和性质，得；结合（1）的结论，根据数字规律的性质分析，即可得到答案．【详解】（1）如图所示，连接AD，交于点M∵，，∴；故答案为：360°（2）如图，连接，交于点M∴，∵∴∴∵∴∴∴二环四边形的内角和为：∵二环三角形的内角和为：二环四边形的内角和为：∴二环五边形的内角和为：∴二环n边形的内角和为：故答案为：，，．【点睛】本题考查了多边形内角和、对顶角、数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、多边形内角和、数字规律的性质，从而完成求解．3．如图，，，且，，则的度数为°．  【答案】【分析】设，，根据三角形内角和公式可求得，，推得，根据三角形内角和公式可求得，将代入即可求解．【详解】解：设，，如图：  ∵，，在中，，在中，，又∵，∴，故，在中，，在中，，，将代入可得；故答案为：．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．4．(1)如图①，你知道∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A的奥秘吗？请用你学过的知识予以证明；(2)如图②，设x＝∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E，运用(1)中的结论填空．x＝____________°；x＝____________°；x＝____________°；(3)如图③，一个六角星，其中∠BOD＝70°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________°.【答案】（1）证明见解析.(2)180；180；180；(3)140【分析】（1）首先延长BO交AC于点D，可得BOC=∠BDC+∠C，然后根据∠BDC=∠A+∠B，判断出∠BOC=∠B+∠C+∠A即可．（2）a、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．b、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．c、首先延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，然后根据外角的性质，可得∠GFC=∠D+∠E，∠FGC=∠A+∠B，再根据∠GFC+∠FGC+∠C=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，据此解答即可．（3）根据∠BOD=70°，可得∠A+∠C+∠E=70°，∠B+∠D+∠F=70°，据此求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是多少即可．【详解】(1)证明：如图，延长BO交AC于点D，则∠BOC＝∠BDC＋∠C，又∵∠BDC＝∠A＋∠B，∴∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A.(2)180；180；180；(3)140【点睛】（1）此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．（2）此题还考查了三角形的外角的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．角度之间的数量关系5．【问题背景】中，是角平分线，点E是边上的一动点．【初步探索】如图1，当点E与点A重合时，的平分线交于点O．（1）若，，则____________；（2）若，则___________；（用含m的代数式表示）  【变式拓展】当点E与点A不重合时，连接，设，．（1）如图2，的平分线交于点O．①当，时，____________；②用、的代数式表示____________．（2）如图3，的平分线与相交于点O，与的平分线所在的直线相交于点F（点F与点E不重合），直接写出点F在不同位置时与之间的数量关系．（用含、的代数式表示）【答案】初步探索（1）55；（2）；变式拓展（1）①75；②；（2）或【分析】初步探索（1）根据角平分线的定义，得到、，再根据三角形外角的性质，即可求出的度数；（2）根据三角形内角和定理，得到，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质，即可求出的度数；变式拓展（1）①延长、交于点G，根据三角形内角和定理，得到，，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质，即可求出的度数；②同①理，即可表示出；（2）分两种情况讨论：点F在内部和点F在外部，利用角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角的性质分别求解，即可得到答案．【详解】初步探索解：（1）中，是角平分线，点E是边上的一动点．，平分，，，平分，，，故答案为：55；（2），，平分，平分，，，，故答案为：；变式拓展解：（1）①如图，延长、交于点G，，，，，，，平分，平分，，，故答案为：75；  ②，，，，，，平分，平分，，，故答案为：；（2）如图，当点F在内部时，令于的交点为H，  ，平分，，，，，，，平分，，，，平分，平分，，，，；如图，当点F在外部时，令于的交点为K，  ，平分，，，，，平分，，，，，，，综上可知，与之间的数量关系或．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，理解题意，找出角度之间的数量关系是解题关键．6．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则．    (1)如图2，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射，若被反射出的光线（与光线平行，且，则_______°，______°；(2)如图3，有三块平面镜，，，入射光线与镜面的夹角，镜面，的夹角，当光线经过平面镜，，的三次反射后，入射光线与反射光线平行时，请求出的度数；(3)如图4，在（2）的条件下，在，之间再照射一条光线，经过平面镜，两次反射后反射光线与交于点，请探究与的数量关系．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根据题中平面镜反射角度之间的关系，结合的性质及三角形内角和定理即可得到答案；（2）过作，如图所示，根据题中平面镜反射角度之间的关系，结合的性质及三角形内角和定理即可得到答案；（3）根据题中平面镜反射角度之间的关系，在（2）的基础上，得出相关角度，再结合四边形内角和、四边形内角和，列方程组求解即可得到答案．【详解】（1）解：如图所示：    根据题意，，，，，，，，在中，由三角形内角和定理可得，故答案为：，；（2）解：过作，如图所示：    ，，，，，，，则，在中，，，则由三角形内角和定理可得，，则，；（3）解：如图所示：    由（2）知，，，，由于一个四边形可以分成两个三角形，由三角形内角和定理可知，在四边形中，，，，，则，，由于一个四边形可以分成两个三角形，由三角形内角和定理可知，在四边形中，，，由与，代入已知角度有与，可得，，解得．【点睛】本题考查利用数学知识探寻平面镜反射中角度关系，涉及平行线的性质、平面镜反射角度关系、三角形内角和定理、四边形内角和为及恒等变形等知识，读懂题意，理解平面镜反射角度之间的关系，数形结合，准确表示各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，点A为轴负半轴上一点，点为轴正半轴上一点，，，其中满足关系式 (1)___________，___________；(2)如图，若平分交于点，交于点，求证：；(3)如图，若点、点分别在轴负半轴和正半轴上运动，的角平分线交轴于点，点在轴上，且，请补全图形，探究的值的变化情况，并直接写出结论（不要求写出探究过程）．【答案】(1)(2)见解析(3)见解析，【分析】（1）根据非负数的性质可得和的值，（2）根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理可得，最后由对顶角相等和等量代换可得结论，（3）首先证明，推出，再证明，，即可解决问题．【详解】（1）解：∵，∴，，故答案为：；（2）证明：如图中，  平分，∴，，，∴，∴，∵，∴．（3）解：如图，结论：；  理由：，，∴，平分，∴，，∵，∴，∴，∵，，，∵，，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的角平分线，三角形的面积，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识，熟记性质并准确识图是解题的关键．8．如图直线与相交于点，点在射线上，点在射线上连接，的平分线与外角的平分线所在直线相交于点．(1)如图①，若，求的度数；(2)若，则________(结果用含的代数表示)；(3)如图②，若点是射线上一点，连接为的角平分线．①随着点的移动，与存在什么样的数量关系，__________________；②过点作交于点，则，，三个角之间的数量关系为．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）根据角平分线的定义可知，，再根据三角形外角的性质即可解答；（2）根据角平分线的定义，，再根据三角形外角的性质即可解答；（3）①根据角平分线的定义及三角形内角和定理可知，再根据三角形外角的性质即可解答；②根据角平分线的定义及平行线的性质可知，再根据三角形的内角和定理及三角形的外角的性质即可解答．【详解】（1）解：∵分别是角平分线，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵分别是的角平分线，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：①∵为的角平分线，∴，，∴，∴，∵，∴，∵分别是角平分线，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故答案为；②∵，∴，，∴，∵为的角平分线，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵分别是的角平分线，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，掌握角平分线的定义是解题的关键．定值问题9．已知（如图1）在中，，平分，点在的延长线上，过点作于点，设，(1)当，时，求的度数；(2)试问与、之间存在着怎样的数量关系，试用表示，并说明理由(3)若与平分线交于点（如图2），当点在线上运动时，是否发生变化，若不变，请用表示；若变化，请说明理由【答案】(1)(2)(3)不会，【分析】（1）根据三角形的内角和求出，再根据角平分线的定义求出，从而得到，利用垂直的定义即可得到结果；（2）表示出，，得到，进一步可得结果；（3）设与交于，根据角平分线的定义得到，，根据三角形的内角和求出，最后利用角平分线的定义和三角形内角和即可求出，即可得到结果．【详解】（1）解：，，，平分，，，，，；（2），，，，；（3）设与交于，平分，，平分，，，平分，，，故不会发生变化．【点睛】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．10．如图1，在平面直角坐标系中，是x轴正半轴上一点，C是第四象限内一点，轴交y轴负半轴于，且．  (1)求点C的坐标．(2)如图2，设D为线段上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点P，求的度数；（点E在x轴的正半轴）(3)在（2）的基础上，如果将“的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点”条件改为“”，求的度数；（点E在x轴的正半轴）(4)如图3，当点D在线段上运动时，作交于M点，、的平分线交于N点，则点D在运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)(4)见解析【分