2023年数学九年级上册北师大版专题08 相似图形的相关概念及性质（解析版）

专题08相似图形的相关概念及性质成比例线段及性质1．（2022秋·福建漳州·九年级校考期中）下列各组中的四条线段成比例的是(    )A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】B【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．【详解】解：A、，故选项不符合题意；B、，故选项符合题意；C、，故选项不符合题意；D、故选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如(即)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．2．（2022秋·广西梧州·九年级校考期中）已知四条线段，，，依次成比例，且，，，则的值为(    )A．3 B．6 C．8 D．9【答案】B【分析】根据成比例线段的定义得出，即可求解．【详解】四条线段、、、依次成比例，，，，，解得：故选：B．【点睛】本题考查了成比例线段，掌握成比例线段的定义是解题的关键．3．（2023春·广东中山·九年级广东省中山市中港英文学校校考期中）若，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用两内项之积等于两外项之积进行判断即可．【详解】解：∵,∴，故选．【点睛】本题考查了比例的性质：两内项之积等于两外项之积，熟练掌握比例的性质是解题的关键．4.（2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）已知，则：．【答案】【分析】根据比例关系假设，，代入即可求值．【详解】∵，∴，∴设，，∴【点睛】此题考查了比例线段，解题的关键是熟练掌握有关比例关系的数量关系．5.（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）（1）已知线段，求线段a，b的比例中项线段c的长．（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据比例中项的定义可知，由此求解即可；（2）根据比例的性质可设，然后代入所求式子求解即可．【详解】解：（1）∵线段，线段c是线段a、b的比例中项，∴，∴（负值舍去）；（2）∵，∴可设，∴．【点睛】本题主要考查了成比例线段，比例的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．平行线分线段成比例题6.（2019秋·广东佛山·九年级佛山市禅城区澜石中学校考期中）如图，已知中，，若，，，则的长是（  ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例的方法即可求解．【详解】解：在中，，∴，∴，且，，，∴，∴，故选：．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的知识，掌握以上知识是解题的关键．7．（2021秋·上海青浦·九年级校考期中）在中，点D、E分别在的反向延长线上，下列不能判定的条件是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用“如果一条直线截三角形的两边或两边的反向延长线，对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边”逐项判断即可求解．【详解】解：如图，A、若，则,故选项A不合题意；B、若，则,故选项B不合题意；C、若，则,故选项C不合题意；D、若，无法得到,故选项D符合题意．故选：D【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论，准确掌握平行线分线段成比例定理推论是解题关键．8．（2023秋·浙江·九年级期中）如图，直线，若，，，则．【答案】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，求出，再求出即可．【详解】解：∵直线，∴，即：解得：，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．9.（2022秋·陕西咸阳·九年级统考期中）如图，在和中，D、E、F分别在线段上，连接，，求的长．  【答案】9【分析】由可得从而可得再由可得结果．【详解】解:∵,∴∴∵∴【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理．黄金分割10.（2022秋·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校联考期中）若线段，点P是线段的黄金分割点，且，则的长为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据黄金分割的定义即可解答．【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且，∴，故选：D．【点睛】此题考查了黄金分割，应该熟记黄金分割的公式：较长线段=原线段长的倍，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．11.（2022秋·上海·九年级校考期中）已知线段，点在线段上，且，那么线段的长．【答案】/【详解】根据黄金分割的定义得到点是线段的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案．【解答】解：∵，点是线段的黄金分割点，，，故答案为：．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为是解题的关键．12.（2020秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图所示，以长为2的定线段为边作正方形，取的中点P，连接，在的延长线上取点F，使，以AF为边作正方形，点M在上．(1)求的长；(2)点M是的黄金分割点吗？为什么？【答案】(1)的长为，的长为；(2)点M是的黄金分割点，理由见解析【分析】（1）要求AM的长，只需求得AF的长，又，，则；（2）根据（1）中的数据得：，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点．【详解】（1）在中，，由勾股定理知∶，∴，；故的长为，的长为；（2）点M是AD的黄金分割点．∵，∴点M是的黄金分割点．【点睛】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段的长，然后求得线段和之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．相似图形13.（2022秋·上海崇明·九年级校考期中）下列关于“相似形”的说法中正确的是（    ）A．相似形形状相同、大小不同 B．图形的放缩运动可以得到相似形C．对应边成比例的两个多边形是相似形 D．相似形是全等形的特例【答案】B【分析】根据相似形的性质逐一判断即可．【详解】解：A：相似形形状相同、大小不一定相同，但是可以相同，故选项A错误；B：图形的放缩运动可以得到相似形，选项B正确；C：如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形，故选项C错误；D：全等形是相似形的特例，故选项D错误．【点睛】本题考查相似形的性质，解题的关键是熟练掌握相似形的相关知识．14.（2023春·江苏南京·九年级统考期中）某同学的眼睛到黑板的距离是，课本上的文字大小为．要使这名同学看黑板上的字时，与他看相距的课本上的字的感觉相同，老师在黑板上写的文字大小应约为（答案请按同一形式书写）．【答案】【分析】设，则老师在黑板上写的文字大小为，根据比例线段和相似图形的性质，列出方程求解即可．【详解】解：如图：，，令，设，则老师在黑板上写的文字大小为，∵，∴，解得：，∴老师在黑板上写的文字大小为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了成比例线段和相似图形的性质，解题的关键是根据题意得出教科书上的字与黑板上的字相似，根据相似图形对应边成比例求解．15.（2019秋·山西太原·九年级统考期中）方格图中的每个小方格都是边长为1小正方形，我们把小正方形的顶点称为格点，格点连线为边的四边形称为“格点四边形”，图1中的四边形ABCD就是一个格点四边形.（1）小彬在图2的方格图中画了一个格点四边形EFGH.借助方格图回答：四边形ABCD与四边形EFGH相似吗？若相似，直接写出四边形ABCD与四边形EFGH的相似比；若不相似说明理由；（2）请在图3的方格图中画一个格点四边形，使它与四边形ABCD相似，但与四边形ABCD、四边形EFGH都不全等.【答案】（1）相似，相似比为；（2）如图，四边形MNPQ即为所求，见解析.【分析】（1）分别求出四边形各边的长度，求出对应边的相似比，即可得到答案；（2）先确定相似比，然后求出个对应边的长度，即可画出图形.【详解】解：（1）相似；根据题意，四边形ABCD中，，BC=1，CD=2，AD=；四边形EFGH中，，FG=2，GH=4，EH=；∴，即，∴四边形ABCD与四边形EFGH相似，相似比为：.（2）根据题意，设相似比为，则四边形MNPQ的各边为：MN=2，NP=，PQ=，MQ=，如图，四边形MNPQ即为所求..【点睛】本题考查了相似四边形的性质，以及画相似图形，解题的关键是掌握相似四边形的对应边的比相等.相似多边形及其性质16.（2022秋·山东潍坊·九年级统考期中）如图，已知四边形四边形，，，则的长是（    ）．A．6 B． C． D．4【答案】C【分析】由四边形四边形，可得，再代入数据计算即可．【详解】解：∵四边形四边形，∴，∵，，∴，故选：C．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握“相似多边形的对应边成比例”是解本题的关键．17.（2021秋·河南·九年级河南省实验中学校考期中）如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为．【答案】【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．【详解】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，∵得到的矩形都和原来的矩形相似，∴，则，∴，∴这些型号的复印纸的长宽之比为，故答案为：．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．18.（2016秋·江苏镇江·九年级统考期中）如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为米．（1）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；（2）能否设计出符合题目要求，且长方形花圃的形状与原长方形空地的形状相似的花圃？若能，求出此时通道的宽；若不能，则说明理由．【答案】(1)、5米；(2)、不能，理由见解析【详解】试题分析：(1)、根据题意得出关于a的一元二次方程，从而得出a的值；(2)、根据相似多边形的性质得出比值，然后求出a的值，根据a的值不符合题意得出答案.试题解析：(1)、由已知可列式：60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）=×60×40，解得：a1=5，a2=45（舍去），答：所以通道的宽为5米；(2)、假设能满足要求，则解得，因为不符合实际情况，所以不能满足其要求．考点：(1)、一元二次方程的应用；(2)、相似多边形1．（2021秋·河北秦皇岛·九年级统考期中）已知，那么的值为（      ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据两内项之积等于两外项之积可得3a=2b，然后用a表示出b；再根据比例的定义求出，最后代入计算即可．【详解】解：∵∴3a=2b，即b=a∴=．故答案为B．【点睛】本题主要考查了比例的性质和定义，灵活应用比例的性质和定义是解答本题的关键．2．（2021秋·陕西咸阳·九年级咸阳彩虹学校校考期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即；如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入沿直线行走，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则满足的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据黄金分割点的定义列式判断即可．【详解】解：∵满足，则称点是的黄金分割点，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上，即，∴．故选：C．【点睛】本题考查了黄金分割点的意义，正确理解黄金分割的定义是解题的关键．3．（2019秋·四川遂宁·九年级校考期中）已知≠0且a+b﹣2c＝9，则a的值为（ ）A．3 B．12 C．15 D．18【答案】D【分析】利用已知用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案．【详解】解：∵≠0，∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，∵a+b﹣2c＝9，∴6x+5x﹣8x＝9，解得：x＝3，故a＝18．故选D．【点睛】本题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．4．（2022秋·重庆丰