海南省2023-2024学年高三下学期学业水平诊断（三）数学试题

绝密★启用前海南省2023—2024学年高三学业水平诊断（三）数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数在复平面内对应的点为，则（）A.B.3C.D.52.在中，内角的对边分别为，若，则（）A.B.C.D.3.某机构统计了1000名演员的学历情况，制作出如图所示的饼状图，其中本科学历的人数为630.现按比例用分层随机抽样的方法从中抽取200人，则抽取的硕士学历的人数为（）A.11B.13C.22D.264.已知等比数列的公比为，则（）A.20B.24C.28D.325.已知，且，则（）A.B.C.D.6.当飞机超音速飞行时，声波会形成一个以飞机前端为顶点，飞机的飞行方向为轴的圆锥（如图），称为“马赫锥”.马赫锥的轴截面顶角与飞机的速度､音速满足关系式.若一架飞机以2倍音速沿直线飞行，则该飞机形成的马赫锥在距离顶点处的截面圆面积为（）A.B.C.D.7.已知正实数满足，则（）A.B.C.D.8.已知是抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线与交于两点，与的准线交于点（点在线段上），，则（）A.1B.2C.3D.4二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则下列说法正确的是（）A.若，则点的轨迹为椭圆B.若，则点的轨迹为双曲线C.若，则点的轨迹为一条直线D.若，则点的轨迹为圆10.已知函数的一个最大值点为，与之相邻的一个零点为，则（）A.的最小正周期为B.为奇函数C.在上单调递增D.在上的值域为11.在正方体中，点满足，其中，则下列说法正确的是（）A.若在同一球面上，则B.若平面，则C.若点到四点的距离相等，则D.若平面，则三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，若，则__________.13.的展开式中的系数为__________.14.已知函数若对任意恒成立，则__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知数列的前项和为.（1）求；（2）若，求数列的前项和. 16.（15分）如图，已知四棱锥的体积为平面，四边形为矩形，为棱的中点，且的面积为.（1）求点到平面的距离；（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.17.（15分）如果一双曲线的实轴及虚轴分别为另一双曲线的虚轴及实轴，则这两双曲线互为“共轭双曲线”.已知双曲线的共轭双曲线的离心率为.（1）求的方程；（2）若直线与的右支交于两点，且以线段为直径的圆与轴相切，求的值.18.（17分）某学校有甲､乙､丙三名保安，每天由其中一人管理停车场，相邻两天管理停车场的人不相同.若某天是甲管理停车场，则下一天有的概率是乙管理停车场；若某天是乙管理停车场，则下一天有的概率是丙管理停车场；若某天是丙管理停车场，则下一天有的概率是甲管理停车场.已知今年第1天管理停车场的是甲.（1）求第4天是甲管理停车场的概率；（2）求第天是甲管理停车场的概率；（3）设今年甲､乙､丙管理停车场的天数分别为，判断的大小关系.（给出结论即可，不需要说明理由）19.（17分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围.海南省2023—2024学年高三学业水平诊断（三）数学·答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分1.答案C命题意图本题考查复数的相关概念.解析由题知.2.答案A命题意图本题考查正弦定理的应用.解析由正弦定理得.3.答案D命题意图本题考查分层随机抽样的概念.解析由题知，样本中本科学历占比为，硕士学历占比为，故抽取的硕士学历的人数为.4.答案D命题意图本题考查等比数列的基本性质.解析由题意知，所以.5.答案A命题意图本题考查同角三角函数的基本关系与三角恒等变换.解析，又，.6.答案B命题意图本题考查圆锥的结构特征.解析由条件知，则，则该飞机形成的马赫锥在距离顶点处的截面圆半径为，截面圆面积为.7.答案D命题意图本题考查指数函数､对数函数的图象与性质.解析在同一平面直角坐标系中作出的图象，由图得.8.答案C命题意图本题考查抛物线与直线的位置关系.解析如图，分别过点作抛物线准线的垂线，垂足分别为，分别过点作，垂足分别为，设交轴于点，准线与轴交于点.由题知的倾斜角为，则，又.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.答案BCD命题意图本题考查曲线与方程.解析对于，则点的轨迹为线段，故A错误；对于，则点的轨迹是双曲线，故B正确；对于，设，由，可得，化简得，表示一条直线，故C正确；对于，由，可得，则点的轨迹是以为直径的圆，故正确.10.答案BC命题意图本题考查三角函数的性质.解析设最小正周期为，则，故A错误.不妨令，则.再由五点法知，此函数为奇函数，故B正确.当时，，由余弦函数的性质知C正确.当时，，故D错误.11.答案ABD命题意图本题考查空间位置关系的判断.解析由题意知点在线段上（不包含点）.对于A，若在同一球面上，则此球为正方体的外接球，所以与重合，所以，故A正确；对于，如图（1），设的中点为，则平面与平面的交线为直线，要使平面，则需，则为的中点，此时，故B正确；对于，点到四点的距离相等，则为正方体外接球的球心，即的中点，此时，故错误；对于，如图（2），设正方形的中心为，连接与交于点，在对角面内，易知是上靠近的三等分点，且，若平面，则，由对称性易知，则，从而是的靠近的三等分点，此时，故D正确.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.答案2命题意图本题考查集合的关系.解析因为，所以，则，且，所以.13.答案-480命题意图本题考查二项式定理的应用.解析由题知可将看成6个相乘，先从6个因式中选2个因式取，有种不同的取法，再从剩余4个因式中选3个因式取，则的系数为，最后1个因式取1，所以的系数为.14.答案命题意图本题考查函数性质的综合应用.解析由题知在区间上单调递增，在上单调递减.注意到，因此若对任意恒成立，则，即对任意恒成立.由于在区间上单调递增，且值域为在区间上单调递减，且值域为，因此对恒成立时.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.命题意图本题考查数列的通项公式与求和.解析（1）当时，，当时，，.（2）由（1）知，，①，②①-②得，，.16.命题意图本题考查空间中的位置关系以及空间向量的应用.解析（1）因为为的中点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，又四边形是矩形，所以，从而.设点到平面的距离为，则，得，因此点到平面的距离为.（2）因为四边形为矩形，为的中点，所以.因为平面，所以，又，所以平面，所以.即是等腰直角三角形.设，则.由条件知解得如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，则，所以.设是平面的法向量则可取.平面的一个法向量为.，所以平面与平面的夹角的余弦值为.17.命题意图本题考查双曲线与直线的位置关系.解析（1）由题可得，因为的离心率为，所以，得，所以的方程为.（2）过的右顶点，不妨设，由的方程可得其渐近线方程为，因为均在的右支上，所以或.由得，所以.，以线段为直径的圆的圆心横坐标为，半径为，由题意知，整理得，解得（负值舍去）.18.命题意图本题考查全概率公式的应用，以及数列与概率的综合问题.解析（1）由题意，前4天管理停车场的顺序为“甲乙丙甲”或“甲丙乙甲”，所以.（2）设事件表示“第天甲管理停车场”，事件表示“第天乙管理停车场”，事件表示“第天丙管理停车场”，记，则.由题意知，当时，，即，整理得，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，故，即第天是甲管理停车场的概率为.（3）.19.命题意图本题考查利用导数研究函数性质.解析（1）.当时，在上恒成立，所以在上单调递增.当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增.（2）不等式对任意恒成立，即对任意恒成立.令，则.设，则.当时，，所以在上单调递增，所以当时，.①若，当时，在上单调递增，则，所以，所以②若，则，又当时，，所以，使得，即.当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，则，所以，所以.由，令函数，则当时，，所以，所以.综上，实数的取值范围是.